Flerdim | Är avbildningen linjär?

Hej!

Jag försöker ta reda på om någon av avbildningarna nedan är linjär men känner att linjära algebran är lite ringrostig hos mig

a) $(u,v)=(\frac{x-y}{2}, -\frac{(x-y)}{2})$
b) $(u,v)=(-x,-y)$
c) $(u,v)=(\frac{1}{2}(x-y\sqrt{3}), \frac{1}{2}(y+x\sqrt{3})$
d) $(u,v)=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$

Jag vet att en avbildning är linjär om $F(x_1 + x_2)= F(x_1)+F(x_2)$ och $F(\lambda x) = \lambda F(x)$ men jag vet inte hur jag ska undersöka om avbildningarna är linjära när vi har två inparametrar och två utparametrar. $(x,y) \rightarrow (u,v)$ .

Hur gör jag?

Angående "två inparametrar": (x,y) är en vektor med komponenter givna i något koordinatsystem.

Vad blir bilden av

(x1,y1) +(x2,y2)?

a*(x1,y1)?

(x1,y1) +(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)

a*(x1,y1) = (a*x1,a*y1)

sexlaxarienslaksax skrev:
(x1,y1) +(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)
a*(x1,y1) = (a*x1,a*y1)

Det där gäller rent rent definitionsmässigt för vektorkomponenter.

Undersök avbildningarna a-d. Gäller det allmänt att

F(x1 + x2, y1 + y2) = F(x1, y1) + F(x2, y2)

och

F(a*x1, a*y1) = a*F(x1, y1)

I så fall är avbildningen linjär.

[För att utesluta linjäritet kan man ta genvägen att undersöka om

F(0, 0) ≠ (0, 0)

Alla linjära avbildningar avbildar en nollvektor på en (annan) nollvektor.]

Dr. G skrev:
sexlaxarienslaksax skrev:
(x1,y1) +(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)
a*(x1,y1) = (a*x1,a*y1)
Det där gäller rent rent definitionsmässigt för vektorkomponenter.
Undersök avbildningarna a-d. Gäller det allmänt att
F(x1 + x2, y1 + y2) = F(x1, y1) + F(x2, y2)
och
F(a*x1, a*y1) = a*F(x1, y1)
?
I så fall är avbildningen linjär.
[För att utesluta linjäritet kan man ta genvägen att undersöka om
F(0, 0) ≠ (0, 0)
Alla linjära avbildningar avbildar en nollvektor på en (annan) nollvektor.]

Är (x,y) vektorn som avbildas på vektorn F(x,y) = (u,v) ovan?

Är F vektoravbilden likt funktionsuttrycket med ett litet "f" [f(x,y)]. Har man mao en vektor som "inparameter" då vi har stort F?

sexlaxarienslaksax skrev:
Är (x,y) vektorn som avbildas på vektorn F(x,y) = (u,v) ovan?

Ja.

Är F vektoravbilden likt funktionsuttrycket med ett litet "f" [f(x,y)]. Har man mao en vektor som "inparameter" då vi har stort F?

Nja. Jag skrev med stort F bara för att du gjorde det i ditt första inlägg.

Tack Dr. G! Du är bra på att förklara så man förstår.

Svara

Visa senaste svar