Flera lösningar för ekvationer med komplexa tal

Hej,

Jag har problem med att förstå hur man räknar ut flera lösningar till ekvationer av typen:

x^5 = 3 +3i

Jag gjorde om 3 + 3i till polär form, dvs $3 \times \sqrt{2} \times (\cos (π / 4) + i \times \sin (π / 4))$ , lätt som en plätt.

Genom att sedan sätta både VL och HL upphöjt till 5 löser jag ju ut x, alltså:

$\pm {(3 \times \sqrt{2})}^{1 / 5} \times (\cos (\frac{π}{4} \times \frac{1}{5}) + i \times \sin (\frac{π}{4} \times \frac{1}{5})) = \pm {(3 \times \sqrt{2})}^{1 / 5} \times (\cos (\frac{π}{20}) + i \times \sin (\frac{π}{20}))$

_EN_ av lösningarna till problemet, är då både den reella och den imaginära delen är positiv (se +/-tecken i början av raden), men sedan finns fyra andra lösningar och jag förstår inte hur man tar reda på detta?

Om man tittar i det imaginära talplanet, tänkte jag mig att det skulle finnas en lösning i varje kvadrant, men det är ju x^5, dvs bör/kan 5 lösningar finnas (och det stämmer).

Hur ska man tänka för att komma från steget ovanför till alla fem lösningar?

Tack på förhand!

MVH Jollan

Alla fem lösningarna ligger jämnt fördelade på en cirkel kring origo. Lägg till ett femtedels varv för att komma till "nästa" lösning.

Hej,

OK, tack! Så beroende av om det är x^5, x^4, x^3, x^2 etc, så är det 5 resp 4 resp 3 resp 2 rötter som alla sprider sig ut sig med 1/5, 1/4 1/3 och 1/2 av 2pi (av hela varvet)?

Finns det någon logisk förklaring som är lätt att komma ihåg till detta?

Tack än en gång!

MVH Josephine

cosinus av (pi/4) är samma sak som cosinus av (pi/4 + ett_varv), samma sak som cosinus av (pi/4 + två_varv), samma sak som cosinus av (pi/4 - ett_varv), samma sak som cosinus av (pi/4 + fem_varv), samma sak som cosinus av (pi/4 - tretton_varv), ...

Skriv detta som cosinus av (pi/4 + N*2pi), där N är vilket heltal som helst, positivt eller negativt.

Då får du fram en lösning där vinkeln kan skrivas om (pi/20 + N*pi*2/5) och du får fram fem olika värden på cosinus för vinkeln.

När du sätter upp vinkeln så blir den inte bara $\frac{π}{4} utan \frac{π}{4} + n 2 π$ När du sedan drar femteroten kommer vinklarna att bli $\frac{π}{20} + n \frac{2 π}{5}$ Sätt n = 1,2,3,4,5 (eller 0,1,2,3,4) får du ur dina 5 rötter. Efter 5 rötter har du gått varvet runt så följande lösningar kommer att bli samma som redan räknats ut.

Svara

Visa senaste svar