Flera generella lösningar till Diofantiska ekvationer?!
Hej!
Uppgiften lyder: "Ange den generella lösningen till 6x + 8y = 60."
Lösning: Ekvationen kan skrivas om till 3x + 4y = 30 => 4y = 30 - 3x => y = -3x/4 +15/2.
Genom att använda miniräknarens tabellverktyg hittar vi en första heltalsösing (2,6). Några ytterligare heltalslösningar är ... (-6, 12), (-2, 9), (6,3), (10, 0), ...
Den generella lösningen blir x = 2 + 4t oxh y = 6 - 3t, för t = 0, +-1, +-2, +-3, ...
I facit anges svaret x = 10 - 4t och y = 3t för t = 0, +-1, +-2, +-3, ...
Båda svaren verkar vara korrekta. Kan det finnas flera generella lösningar till en Diofantisk ekvation eller finns det bara en och i så fall var börjar man med den första heltalslösningen?
Tack på förhand,
Gabriela
Det finns hur många lösningar som helst. Förutom din och facit t.ex.
x = 6 + 4t och y = 3 - 3t för t = 0, +-1, +-2, +-3, ...
Jag vet inte vad som menas med "generella lösningen". Om det ska vara att
y = 0 för t=0 ? Ja, då stämmer ju facit, som ger (10,0)
men du får ju också (10,0) fast för t = 2
och i mitt exempel ger t =1 (10,0)
Tack!
larsolof skrev:Det finns hur många lösningar som helst. Förutom din och facit t.ex.
x = 6 + 4t och y = 3 - 3t för t = 0, +-1, +-2, +-3, ...
Jag vet inte vad som menas med "generella lösningen". Om det ska vara att
y = 0 för t=0 ? Ja, då stämmer ju facit, som ger (10,0)
men du får ju också (10,0) fast för t = 2
och i mitt exempel ger t =1 (10,0)
"Den generella lösningen" uppfattar jag som att man vill veta alla värden som uppfyller ekvationen. De båda skrivsätten som har jämförts är inte olika lösningar, utan olika sätt att formulera den generella lösningen, i det här fallet uttryckt med en heltalsparameter t.
Om det hade stått "finn en lösning till ekvationen" så hade det räckt med ett talpar.
