Fler.var.analys: Beräkna massa och densitet
Jag försöker lösa en uppgift där man ska räkna ut densiteten av en tetrahed. Jag har löst den men får fel svar och förstår inte vart jag gör fel. Jag får svaret 3/24 och facit säger 1/24. Jag skulle misstänka att jag gör något typ av fel högst upp, vid K.
Här är uppgiften:
Beräkna massan av kroppen som består av tetraedern med hörn i punkterna (0, 0, 0),(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) och densitet ρ(x, y, z) = z.
Här är min "lösning":
Övre integrationsgränsen för z stämmer inte.
Planet som går igenom pkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1) har ekvationen x+y+z=1. Området under det här planet kan därmed beskrivas av olikheten z≤1-x-y, därav övre integrationsgränsen för z.
Jag hade räknat den lite snabbare i "z-led"
För given höjd z spänns en triangel (halv kvadrat) parallell med xy-planet upp som har sidan 1-z och därmed arean 1/2(1-z)^2. Vi har nu för givet z löst den inre integralen
INT INT 1 dx dy
Den yttre integralen blir då
INT_0^1 z 1/2(1-z)^2 dz = 1/24.
Här är min fullständiga lösning:
