fler obekanta än ekvationer

lovisla03 skrev:

jag undrar varför det inte kan fås fram bara en lösning när det är fler variabler än ekvationer.

hittar inte förklaring när jag googlar..

tack i förhand!

Studera t.ex. ekvationen $y=x+1$ som är en rät linje. En ekvation, två variabler. Lösningarna ligger på linjen och de är oändligt många, t.ex. $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$ etc.

Utvidgar du till fler ekvationer och fler variabler blir linjen i 2D-planet något motsvarande i 3D-rummet, och i högre dimensioner.

Enklaste fallet: Två variabler, en ekvation, exempelvis x+y=5. Du kan skriva om det till en rät linje, y=-x+y. För varje x-värde du stoppar in, finns det ett y-värde som stämmer. För varje y-värde kan du hitta ett x-värde som stämmer. Det finns ingen enda kombination (x,y) som är Den Enda Rätta Lösnngen, utan alla par (x,5-x) uppfyller ekvationen.

Har man fler variabler och fler ekvationer (fast fler variabler än ekvationer) så blir det likadant, men krångligare.

vad händer när det är 3 obekanta och 2 ekvationer då?

har svårt att föreställa mig det.

kommer lösningarna ligga i ett plan dåe ller?

förstår dock med 2dim fallet nu. 

Just precis! Lösningsmängden till en linjär ekvation i tre variabler är ett plan. (Exakt hur det planet ser ut är lite överkurs i Ma2, men är något man lär sig läsa av från ekvationen om man läser linjär algebra på universitetet sen.)

Att bestämma lösningen till ett ekvationssystem med två linjära ekvationer i tre variabler motsvarar därmed att hitta alla punkter som ligger i skärningen mellan två plan.

Om du föreställer dig detta visuellt så borde det vara tydligt att det bara finns två möjligheter:

• Planen är parallella och skär därför inte varandra alls. Detta innebär att ekvationssystemet saknar lösningar.
• Planen skär varandra längs en rät linje. Detta innebär att ekvationssystemet har oändligt många lösningar.

Det är inte möjligt för två plan att skära varandra i en enda punkt.

Generellt gäller det att om man har färre än $n$ stycken linjära ekvationer i $n$ variabler (detta kallar man för att systemet är underbestämt), så kommer man att antingen ha oändligt många lösningar eller inga lösningar alls.

Om $n\geqslant 3$ så kan vi inte längre argumentera visuellt, så då behöver vi något slags mer algebraiskt bevis. Detta är också en sån grej som man går igenom om man läser linjär algebra på universitetet, men idén är att använda gamla goda additionsmetoden som ni säkert har gått igenom nu i Ma2 på ett systematiskt sätt (man brukar kalla det här systematiska sättet för Gauss-elemination) för att visa att ekvationssystemet är ekvivalent med ett annat ekvationssystem där ett av följande två fall inträffar:

• En av ekvationerna i det nya ekvationssystemet är uppenbart omöjlig att lösa (typ $1=0$), vilket innebär att systemet saknar lösningar.
• Det nya ekvationssystmet är lösbart, men en av variablerna förekommer inte alls. Det innebär att den variablen kan anta vilket värde som helst, och att systemet därför har oändligt många lösningar.

Men observera: det som har sagts i den här tråden gäller för linjära ekvationer!

Det gäller inte nödvändigtvis för andra typer av ekvationer. Betrakta exempelvis ekvationssystemet

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=0\\ x+y+z=3\,,\end{matrix}\right.$

där vi har två ekvationer och tre varaibler.

Hur många (reella) lösningar har det?

oggih skrev:

Men observera: det som har sagts i den här tråden gäller för linjära ekvationer!

Det gäller inte nödvändigtvis för andra typer av ekvationer. Betrakta exempelvis ekvationssystemet

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=0\\ x+y+z=3\,,\end{matrix}\right.$

där vi har två ekvationer och tre varaibler.

Hur många (reella) lösningar har det?

har det inte också oändligt med lösn?

Nix! Vad måste $x$ och $y$ vara för att den första ekvationen ska gälla?

oggih skrev:

Nix! Vad måste $x$ och $y$ vara för att den första ekvationen ska gälla?

0, aa så den har 1 reell? så gäller det att det är oändligt med lösningar bara om det är linjära ekvationer?

Just precis! Systemet i mitt förrförra inlägg har en enda reell lösning, nämligen

$\left\{ \begin{matrix}x=0\\ y=0\\ z=3\,.\end{matrix}\right.$

Så för icke-linjära ekvationssystem är det inte alls så enkelt att man bara kan räkna antalet variabler och jämföra med antalet ekvationer för att säga om det finns oändligt många lösningar, ändligt många lösningar eller inga lösningar alls. Man måste vara mycket mer försiktig, och titta på varje fall för sig.

oggih skrev:

Just precis! Systemet i mitt förrförra inlägg har en enda reell lösning, nämligen

$\left\{ \begin{matrix}x=0\\ y=0\\ z=3\,.\end{matrix}\right.$

Så för icke-linjära ekvationssystem är det inte alls så enkelt att man bara kan räkna antalet variabler och jämföra med antalet ekvationer för att säga om det finns oändligt många lösningar, ändligt många lösningar eller inga lösningar alls. Man måste vara mycket mer försiktig, och titta på varje fall för sig.

tack! då lärde jag mig något nytt :)