Fjärdegradspolynom

Hej, jag vet inte riktigt hur jag skall gå till väga för att lösa detta problem;

Polynomet p(z) = z^4 −z^3 +z−1 har ett nollställe z = 1. Bestäm samtliga lösningar till den komplexa ekvationen z^4 −z^3 + z −1 = 0 på rektangulär form.

Som jag har förstått då kan jag använda polynom division här, dock så vet jag inte riktigt vad det är jag skall få fram. Jag har utfört divisionen så långt det går och fått fram z+1=0, så jag vet att z = -1 är en lösning men tydligen skall man få fram z^3+1=0.

Någon som vet hur jag skall gå till väga för att lösa den?

Du verkar ha gjort rätt så här långt. Du har (nog) kommit fram till att

$p (z) = z^{4} - z^{3} + z - 1 = (z - 1) (z^{3} + 1)$

Kontrollräkna så att jag inte har tabbat mig (gånga ihop parenteserna i högerledet). Ekvationen p(z)=0 har då 2 lätt synliga lösningar. Den ena, z=1, var given. Den andra uppenbara lösningen verkar du också ha hittat, z=-1. Ekvationen har 4 lösningar om man räknar multipla rötter. Ekvationen (z³+1)=0 har 3 lösningar. En har du hittat, z=-1. De andra 2 är komplexa. Ser du vilka de är?

Peter skrev:
Du verkar ha gjort rätt så här långt. Du har (nog) kommit fram till att

$p (z) = z^{4} - z^{3} + z - 1 = (z - 1) (z^{3} + 1)$

Kontrollräkna så att jag inte har tabbat mig (gånga ihop parenteserna i högerledet). Ekvationen p(z)=0 har då 2 lätt synliga lösningar. Den ena, z=1, var given. Den andra uppenbara lösningen verkar du också ha hittat, z=-1. Ekvationen har 4 lösningar om man räknar multipla rötter. Ekvationen (z³+1)=0 har 3 lösningar. En har du hittat, z=-1. De andra 2 är komplexa. Ser du vilka de är?

Hur får du fram z^3+1? Det är det jag inte kan få fram, med z^3+1=0 kan jag ta fram resterande lösningar med typ polär form eller något.

med z^3+1=0 kan jag ta fram resterande lösningar med typ polär form eller något.

Bra förslag! Gör så.

Polynomdivisionen p(z)/(z-1) borde ge z³+1 som resultat tycker jag. Kan du visa din polynomdivision eller försöka göra den en gång till och se om du får ett annat svar?

Peter skrev:

med z^3+1=0 kan jag ta fram resterande lösningar med typ polär form eller något.

Bra förslag! Gör så.

Polynomdivisionen p(z)/(z-1) borde ge z³+1 som resultat tycker jag. Kan du visa din polynomdivision eller försöka göra den en gång till och se om du får ett annat svar?

$z - 2 z^{3} - 2 z^{2} + 2 z - (z^{4} - z^{3}) = - 2 z^{3} + z - 1 - (- 2 z^{3} + 2 z^{2}) = 2 z^{2} + z - 1 - (2 z^{2} - 2 z) = z - 1$

Jag vet inte om du hänger med min lösning, jag hittade denna metod från en YouTube video. Men det var såhär jag kom fram till z-1. Har du kanske någon bättre metod för detta?

Edit: LaTeX har buggat väldigt mycket ser jag...

Använde du formelskrivaren?

Laguna skrev:
Använde du formelskrivaren?

Ja, lösningen kom ut sådär med formelskrivaren

$z - 1 z^{3} - 1$

Du gjorde ett teckenfel i början.

EDIT: Det såg ut som det skulle innan jag tryckte på "Posta svar" - och nu när jag redigerar ser det bra ut igen.

Nej, jag hänger inte med i den lösningen. Det är kanske som Smaragdalena säger att det är ett teckenfel men jag tycker att det står z-2 där jag hade förväntat mig z-1.

Så här räknar jag division med en annan men liknande uppställning:

Om man har tur kan man se att z⁴-z³+z-1 = z³(z-1)+1(z-1) = (z³+1)(z-1)...

Peter skrev:
Nej, jag hänger inte med i den lösningen. Det är kanske som Smaragdalena säger att det är ett teckenfel men jag tycker att det står z-2 där jag hade förväntat mig z-1.

Så här räknar jag division med en annan men liknande uppställning:

Jag råkade skriva z-2 när det egentligen skulle vara z-1!

Men jag ser på din uträkning nu vart jag gjort fel, jag glömde byta tecken på z^3. Nu förstår jag!

Tack!

Ett tips: Jag brukar tänka "samma eller olika tecken som högstatermen" - åtninstone gör det att jag har större chans att det blir rätt än om jag pänker "positivt eller negativt").

Vi kan även tänka att eftersom polynomet har reella koefficienter så förekommer alltid nollställena i komplexkonjugerade par.

Det betyder att eftersom z = 1 är ett nollställe så är även z = -1 det, vilket i sin tur innebär att både (z-1) och (z+1) är faktorer i polynomet.

Vi kan alltså utföra polynomdivision med z²-1 och på det sättet slippa få ett tredjegradspolynom som kvot. Istället får vi då andragradspolynomet z²2-z+1, vars nollställen vi enkelt kan hitta med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln.

Yngve skrev:
Vi kan även tänka att eftersom polynomet har reella koefficienter så förekommer alltid nollställena i komplexkonjugerade par.

Det betyder att eftersom z = 1 är ett nollställe så är även z = -1 det, vilket i sin tur innebär att både (z-1) och (z+1) är faktorer i polynomet.

Vi kan alltså utföra polynomdivision med x²-1 och på det sättet slippa få ett tredjegradspolynom som kvot. Istället får vi då andragradspolynomet z²2-z+1, vars nollställen vi enkelt kan hitta med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln.

$\bar{z_1}=\bar{1}\ne -1$ . Det går inte att hitta nollstället $-1$ på detta sätt.

Ja, tack för påpekandet, jag tänkte fel där. Jag blandade ihop det med att om z = i hade varit ett nollställe så skulle även z = -i ha varit det.

z = -1 är ett nollställe, men det är mer av ett sammanträffande.

Yngve skrev:
Ja, tack för påpekandet, jag tänkte fel där. Jag blandade ihop det med att om z = i hade varit ett nollställe så skulle även z = -i ha varit det.

z = -1 är ett nollställe, men det är mer av ett sammanträffande.

Precis, en lite oväntad tillfällighet bara. Finns det något begrepp/uttryck för när man byter tecken på realtermen istället för den komplexa delen?

Ja, det är helt enkelt ett konjugat (men alltså inte ett komplexkonjugat).

Alla binom a+b har ett konjugat a-b.

Det är alltså oberoende av vad a och b står för.

Svara

Visa senaste svar