Fjärdegrads polynom

Behöver hjälp med följande uppgift. $E k v a t i o n e n z 4 - 2 z 3 + z 2 + 2 z - 2 = 0 h a r e n r o t z = 1 + i . B e s t ä m e k v a t i o n e n s ö v r i g a r ö t t e r .$

Jag förstår att ekvationen har fyra rötter. Eftersom att alla koefficienter är reella och z1 = 1 + i, är z2 = 1 - i.

Längre än så kommer jag inte. Jag förstår att man ska utnyttja faktorsatsen och dela polynomet med faktorerna z1 * z2, däremot förstår jag inte hur man faktoriserar just dessa typer av polynom. D.v.s. polynom med komplexa tal som variabler. Facit visar faktoriseringen på följande sätt. $(z - (1 + i)) (z - (1 - i)) = z 2 - z (1 + i + 1 - i) + + (1 + i) (1 - i) = z 2 - 2 z + 2$

Hur kommer det sig att faktoriseringen ser ut sådär? Hur kommer man fram till det?

Ett fjärdegradspolynom P(x)=az⁴+bz³+c^z2+dz+e kan även skrivas som k(z-z₁)(z-z₂)(z-z₃)(z-z₄) där z_n är nollställena till ekvationen P(x)=0.

Börja med att multiplicera ihop (z-z₁)(z-z₂) så får du ett icke-komplext polynom som du kan dela ditt polynom med, precis som man har visat i facit.

Svara