Fjärde hörnet i en kvadrat - Linjär algebra

Det första steget vid en sådan här uppgift är alltid att rita. Om vi ritar ut de punkter vi vet och ritar skillnadsvektorer mellan dem ser det ut ungefär så här:

Om vi sedan inser att skillnadsvektorn CB kommer att vara samma som för vektorn från A till den okända punkten och att CA kommer vara samma som vektorn från B till den okända punkten kan vi rita upp det som:

Tror du att du klarar av ta fram den okända punkten genom att räkna lite med vektorer?

Hur funkar det när man ritar för han, jag antar att  det är väldigt lätt att det blir fel och man bara blir förvirrad eller...
Jag är ny på det här med vektorer så jag förstår inte riktigt hur jag ska räkna mig fram till svaret...

Man kan ju alltid rita samma sak för hand på ett papper:

Det är inte jätteviktigt att det blir rakt och skalenligt, bara att man får en ungefärlig bild av situationen.

Är du med på hur det funkar när du adderar och subtraherar vektorer? Det funkar på samma sätt som med tvådimensionella vektorer som du bör ha lärt dig någon gång på gymnasiet.

Tricket just här är att inse att du kan få fram den okända punkten genom att addera vektor CB till punkten A.

Jaha okej.  Skulle man kunna addera vektor CA till punkt B också?

steinEin skrev:

Jaha okej.  Skulle man kunna addera vektor CA till punkt B också?

 Just det!

Okej nu förstår jag tankegången! Tack! 

Så nu ska jag alltså räkna ut vektorn CB genom att ta punkt B - C, vilket ger (6, 3, -1) - (4, 2, 1) = (2, 1, -2)

Sedan tar jag och adderar vektorn CB till punkten A och får (2, 1, -2) + (3, 0, -1) = (5, 1, -3)

Svar: Den fjärde hörnet har koordinaterna: (5, 1, -3).

Svaret stämmer bra med facit. Har jag skrivit upp uträkningen på korrekt sätt?

En sista fråga också. Finns det något sätt att räkna ut detta på ett smidigt sätt utan att rita upp det eller måste man i princip rita upp det för att få en bild att jobba med?

Tack så jättemycket! :)

Det är alltid en bra idé att rita, då får man ett hum om vad det är man vill komma fram till. Varför vill du inte rita? (Det blir enklare att rita matematiskt ju mer man gör det.)

Ibland är jag lat och försöker komma undan med att bara "rita i huvudet", men det är bara för väldigt enkla situationer som detta fungerar, sådana som jag har gjort hundratals gånger innan. Oftare än jag vill erkänna blir det helt fel innan jag plockar fram papper och penna och ritar upp det jag behöver beräkna.

Nej, jag har faktiskt inget emot att rita och förstår att det är en bra hjälp på vägen att kunna se lite vad det är man vill komma fram till. Dock så känns det lite som att det borde finnas något annat sätt att komma fram till svaret rent algebraiskt bara? Det kanske det inte gör eller? :D

Visst kunde du ha räknat ut den här uppgiften algebraiskt utan att ha ritat upp det - men jag tror att man måste ha ett väldigt välutvecklat sinne för att kunna "se för sin inre syn" om man skall kunna göra det utan att bara tillämpa formler utan att förstå vad det är man gör.

Okej tack för svaret! Den här sidan är guldvärd och det är tack vare är som är så grymma på att förklara saker 

Egentligen borde man kontrollera att de inte ljuger och att det verkligen är en kvadrat. AC har längden 3, BC 3 och då borde AB vara 3 gånger roten ur 2, och det är den också. Och då vet vi också vilken vektor vi ska lägga i vilken punkt.

Man kan alltid lösa utan att rita. Det kan vara nyttigt, genom att man tydliggör förutsättningarna som annars bara är "uppenbara" för både eleven och läraren. Men det är bra att ha en bild för att ett bevis ska bli lättare att följa.