14 svar

1171 visningar

Cien behöver inte mer hjälp

Fjäderkraften vid ett specifikt läge

Hej har lite problem med förståelsen av denna uppgift: En partikel med massan 350 g utför en harmonisk svängning med amplituden 0,15 m kring ett jämviktsläge. Svängningstiden är 1,5 s. a) Hur stor är den resulterande kraften på partikeln i det ögonblick då avståndet från jämviktsläget är 0,10 m? Ledtråd: Derivera elongationen för att få hastigheten. Derivera hastigheten för att få accelerationen. b) Hur stor är fjäderkraften i samma ögonblick?

Mina beräkningar:

$y = A \sin ω t y' = ω A \cos ω t y'' = - ω^{2} A \sin ω t a_{m a x} = ω^{2} \cdot A = {(\frac{2 π}{T})}^{2} \cdot 0.10 m \approx 1.75 \frac{m}{s^{2}} F_{r e s} = m a_{m a x} = 0.350 \cdot 1.75 \approx 0.61 N$

Nu vet vi ju den resulterande kraften och tyngdkraften, så fjäderkraften är enkel att hitta, men om elongationen är 10m kan det väl betyda av från båda hållen av jämviktsläget? och då kommer ju fjäderkraften variera rejält. Hur vet jag vilken fjäderkraft de vill ha reda på?

Fjäderkraften är lika stor (men motriktad) när elongationen är 10 cm åt vardera hållet.

Smaragdalena skrev:
Fjäderkraften är lika stor (men motriktad) när elongationen är 10 cm åt vardera hållet.

Tänker vi på samma sak? fjäderkraften dvs spännkraften från fjädern, den är väl alltid riktad uppåt medans den resulterande kraften i de två lägena är lika stora men motriktade?

edit: dvs Fres riktas alltid mot jämviktsläget

När partikeln är ovanför jämviktsläget är fjäderkraften riktad neråt.

Smaragdalena skrev:
När partikeln är ovanför jämviktsläget är fjäderkraften riktad neråt.

Det kan väl inte stämma, jag kollar på en simulering och där är det tydligt att fjäderkraften är riktad uppåt även över jämviktsläget men den riktar sig neråt när den stiger över fjäderns naturliga läge

Det beror på om amplituden på svängningen är större än elongationen till jämviktsläget.

Föreställ dig att fjädern dragits ut 20 cm bara av att hänga vikten i den, då kommer alltid fjäderkraften vara riktad uppåt i rörelsen eftersom amplituden är 15 cm. Om däremot fjädern enbart dragits ut 5 cm kommer den vara riktad nedåt så snart den svängt upp över jämviktsläget mer än 5 cm.

Därmed är din intuition rätt. Frågan är bara, vad är det du egentligen har räknat ut?

Du har räknat ut något du kallar $a_{max}$ med amplituden 0.1 m och $sin(\omega t)=1$ , stämmer verkligen det? Svängningsfrekvensen $\omega$ du använder är väl för amplituden 0.15 m? Vid 0.1 m har du inget ändläge så $sin(\omega t) \neq 1$ .

Ta fram tiden det tar för partikeln att nå 0.1 m från jämviktsläget med din oderiverade relation.

Ebola skrev:
Det beror på om amplituden på svängningen är större än elongationen till jämviktsläget.
Föreställ dig att fjädern dragits ut 20 cm bara av att hänga vikten i den, då kommer alltid fjäderkraften vara riktad uppåt i rörelsen eftersom amplituden är 15 cm. Om däremot fjädern enbart dragits ut 5 cm kommer den vara riktad nedåt så snart den svängt upp över jämviktsläget mer än 5 cm.
Därmed är din intuition rätt. Frågan är bara, vad är det du egentligen har räknat ut?
Du har räknat ut något du kallar $a_{max}$ med amplituden 0.1 m och $sin(\omega t)=1$ , stämmer verkligen det? Svängningsfrekvensen $\omega$ du använder är väl för amplituden 0.15 m? Vid 0.1 m har du inget ändläge så $sin(\omega t) \neq 1$ .
Ta fram tiden det tar för partikeln att nå 0.1 m från jämviktsläget med din oderiverade relation.

$y = A \sin ω t \Rightarrow t = \frac{y}{A \sin ω} = \frac{0.1}{0.15 \sin (\frac{2 π}{1.5})} \approx - 0.77 s$

Något i den stilen?

Nej, tänk på att $\sin(\omega t)$ INTE betyder $\sin(\omega)\cdot t$ . Vill du ha ut tiden måste du lösa den trigonometriska ekvationen.

...................................................................................................................

Här är en alternativ lösning om du är lat.

$y(t)=A\sin(\omega t)$

$a(t)=-A\omega^2 \sin(\omega t)$

Studera situationen för någon avvikelse $d$ från jämviktsläget vid tiden $t_d$

$d=A\sin(\omega t_d)\, \Leftrightarrow \sin(\omega t_d)=\frac{d}{A}$

$a(t_d)=-A\omega^2\frac{d}{A}=-\omega^2d$

Och den resulterande kraften blir $F=ma=-m\omega^2d$

Låt $d=\pm 0.1\mathrm{m}$ .

Jroth skrev:
Nej, tänk på att $\sin(\omega t)$ INTE betyder $\sin(\omega)\cdot t$ . Vill du ha ut tiden måste du lösa den trigonometriska ekvationen.
...................................................................................................................

Här är en alternativ lösning om du är lat.
$y(t)=A\sin(\omega t)$
$a(t)=-A\omega^2 \sin(\omega t)$
Studera situationen för någon avvikelse $d$ från jämviktsläget vid tiden $t_d$
$d=A\sin(\omega t_d)\, \Leftrightarrow \sin(\omega t_d)=\frac{d}{A}$
$a(t_d)=-A\omega^2\frac{d}{A}=-\omega^2d$
Och den resulterande kraften blir $F=ma=-m\omega^2d$
Låt $d=\pm 0.1\mathrm{m}$ .

Fin förklaring! så även fjäderkraften ska då ha två värden?

Det kanske hjälper dig att börja i denna änden istället. Du vet svängningstiden och massan vilket ger följande fjäderkonstant:

$k= m(\frac{2\pi}{T})^{2}$

Elongationen $x$ från att hänga vikten i fjädern är:

$x=\frac{mg}{k}$

Kombineras dessa får vi:

$x= g(\frac{T}{2\pi})^{2}$

Vilken riktning har fjäderkraften då partikeln är 0.1 m från jämviktsläget?

Ebola skrev:
Det kanske hjälper dig att börja i denna änden istället. Du vet svängningstiden och massan vilket ger följande fjäderkonstant:
$k= m(\frac{2\pi}{T})^{2}$
Elongationen $x$ från att hänga vikten i fjädern är:
$x=\frac{mg}{k}$
Kombineras dessa får vi:
$x= g(\frac{T}{2\pi})^{2}$
Vilken riktning har fjäderkraften då partikeln är 0.1 m från jämviktsläget?

Förstår inte riktigt vart du fick x ifrån? k förstår jag att du har löst ut från $T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} \Leftrightarrow k = \frac{4 π^{2} m}{T^{2}}$

*Edit $F = k x \Rightarrow x = \frac{F}{k} = \frac{m g}{k}$ Nvm jag är med nu

*Edit 2, x=0.559

$F_{fj}-mg=-m\omega^2d$

$F_{fj}=mg-m\omega^2d$

Vi ser att för jämviktsläget $d=0\mathrm{m}$ är fjäderkraften inte helt oväntat $mg$

För $d=+0.1\mathrm{m}$ (över jämviktsläget) är fjäderkraften fortfarande positiv, men mindre än den är för $d=-0.1\mathrm{m}$ (under jämviktsläget).

Jag tänkte rita grafen blir lättare att förstå då. Vad blir kurvans ekvation?

$ω = \frac{2 π}{1.5} \approx 4.18 y = 0.15 \sin (4.18 x)$

stämmer detta?

x=0.17 här

Jroth skrev:
$F_{fj}-mg=-m\omega^2d$
$F_{fj}=mg-m\omega^2d$
Vi ser att för jämviktsläget $d=0\mathrm{m}$ är fjäderkraften inte helt oväntat $mg$
För $d=+0.1\mathrm{m}$ (över jämviktsläget) är fjäderkraften fortfarande positiv, men mindre än den är för $d=-0.1\mathrm{m}$ (under jämviktsläget).

Ursäkta om jag är trög men hur fick du fram riktningen på fjäderkraften (efterfrågar de 0.10m över eller under jämviktsläget?)

Cien skrev:
Jroth skrev:
$F_{fj}-mg=-m\omega^2d$
$F_{fj}=mg-m\omega^2d$
Vi ser att för jämviktsläget $d=0\mathrm{m}$ är fjäderkraften inte helt oväntat $mg$
För $d=+0.1\mathrm{m}$ (över jämviktsläget) är fjäderkraften fortfarande positiv, men mindre än den är för $d=-0.1\mathrm{m}$ (under jämviktsläget).
Ursäkta om jag är trög men hur fick du fram riktningen på fjäderkraften (efterfrågar de 0.10m över eller under jämviktsläget?)

Båda. Utifrån var jämviktsläget är relativt fjäderns normalläge vet du nu att fjäderkraften alltid pekar uppåt och du kan därmed beräkna den baserat på resultantens värde vid de två olika punkterna.

Gå igenom tråden igen om något är oklart.

Svara

Visa senaste svar