Fjäderkraft som varierar

Hej!
jag hade behövt hjälp med följande problem.

det jag inte riktigt kan klura ut är hur jag ska beräkna det arbete som fjädern utför, eftersom den varierar. Jag tänker att U(mg)=mg5 och att U =T(2) -T(1), där T(2)=mv2/2 och T(1)=0.

tack på förhand!!

Energin som lagras i en fjäder är $\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$

Redigera ditt inlägg och lägg upp bilden roterad 90 grader till vänster så är sannolikheten att du får hjälp betydligt högre.

Du har att den potentiella energin från tyngdkraften är mg5? Är avståndet hylsan rör sig relativt gravitationsfältet verkligen 5 meter?
Vilken potentiella energi lagras i fjädern? Hur är dess utsträckning vid punkt A relativt punkt B? (Edit: Tänk på att du vet dess naturliga längd på 1 meter)

Skrev såklart fel, menar 3mg.

Ja precis, jag förstår att den är utsträckt 3 m på översta och 2 på undre. Men kan inte riktigt klura ut hur jag ska formulera det till ett arbete.

linalg skrev:
Ja precis, jag förstår att den är utsträckt 3 m på översta och 2 på undre. Men kan inte riktigt klura ut hur jag ska formulera det till ett arbete.

Du behöver inte formulera det till ett arbete. Det beräknas genom en integral för arbetet fjäderkraften utför över den distans som fjädern dras ut eller trycks ihop enligt:

$\displaystyle Arbete = \int_{0}^{x} kx dx = \frac{1}{2}kx^{2}$

Det enda du behöver skriva är den lagrade potentiella energin i läge 1 och i läge 2. Du ska alltså skriva ett energisamband enligt:

$m g h_{A} + \frac{1}{2} k {(x_{A})}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h_{B} + \frac{1}{2} k {(x_{B})}^{2}$

Detta finns det lite olika sätt att ställa upp. Vissa använder U, T, V, skriver differenser direkt, definierar noll-lägen osv.

Läs mer här:

Elastic Potential Energy

okej! Tack ska försöka mig på detta!!

linalg skrev:
okej! Tack ska försöka mig på detta!!

Kom ihåg att poängen med energi är att göra uppgiften enklare. Om vi hade försökt beskriva arbetet som fjädern utför enligt den traditionella, kinetiska metoden som inte använder sig av en energimetod hade problemet blivit betydligt svårare. Se nedan lösning för ett exempel på det.

Kinetisk lösning för fjäderarbetet

Vi studerar problemet vid något läge:

Här ser vi alltså att längden på fjädern $f (x, θ)$ är en funktion av hur långt hylsan åkt $x$ och fjädern roterat $\theta$ . Om vi ska räkna ut arbetet behövs kraften som är parallell med rörelseriktningen vilket ger:

Här har vi $\gamma = \alpha + \theta$ och vi får $F_{x}=F \cdot cos(\alpha + \theta)$ . Vi ställer upp:

$F=k(f(x, \theta) - 1)$

$\displaystyle Arbete = \int k\left(f\left(x, \theta \right) -1 \right) \cdot cos\left(\alpha + \theta\right) dx$

Vi bestämmer härnäst $f(x, \theta)$ , se figur nedan:

Från ovan får vi:

$x \cos (α) = 4 - \tilde{x} \Leftrightarrow \tilde{x} = 4 - x \cos (α)$

$f (x, θ) = \frac{\tilde{x}}{\cos (θ)} \Leftrightarrow f (x, θ) = \frac{4 - x \cos (α)}{\cos (θ)}$

Vi vet att $\cos (α) = \frac{4}{5}$ så vi får:

$f (x, θ) = \frac{4 (1 - \frac{x}{5})}{\cos (θ)}$

Nu vill vi försöka beskriva $\theta (x)$ så att vi kan integrera med avseende på enbart en variabel. Vi ser från samma figur som tidigare att:

$\begin{array}{r} y = x \sin (α) = \frac{3}{5} x \\ \tan (θ) = \frac{y}{\tilde{x}} \end{array}\} \Rightarrow \tan (θ) = \frac{\frac{3}{5} x}{4 (1 - \frac{x}{5})} = \frac{3 x}{4 (5 - x)}$

Detta innebär enligt tangens-triangeln att:

$\sin (θ) = \frac{3 x}{\sqrt{{(3 x)}^{2} + {(20 - 4 x)}^{2}}}; \cos (θ) = \frac{20 - 4 x}{\sqrt{{(3 x)}^{2} + {(20 - 4 x)}^{2}}}$

Vidare har vi att:

$\cos (α + θ) = \cos (α) \cos (θ) - \sin (α) \sin (θ) = \frac{1}{5} (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ))$

Allt detta ger slutligen:

$\displaystyle Arbete = \int_{0}^{5} \frac{k}{5} \left(16 - \frac{9x}{5-x} + \frac{9x^{2}}{5(5-x)} - \frac{16x}{5} + \frac{25x - 80}{A(x)} \right) dx$

Där $A (x) = \sqrt{{(3 x)}^{2} + {(20 - 4 x)}^{2}}$ . Resultatet av integralen är:

$Arbete = 2.5k$

Faktorn framför fjäderkonstanten har samma numeriska värde som $\displaystyle \frac{3^{2} - 2^{2}}{2}$ , hur kommer det sig tror du?

Svara

Visa senaste svar