Fjäderförlängning

Rita en bild som illustrerar vad som händer.

Ställ upp Newton II för partikeln. Uppgiften handlar om rotation / centripetalkraft. Kan du några samband? Vad måste gälla för att partikeln ska hållas kvar i sin bana?

Uppgiften innehåller en fjäder. Kommer du ihåg  något samband mellan kraft och fjäderförlängning?

D4NIEL skrev:

Rita en bild som illustrerar vad som händer.

Ställ upp Newton II för partikeln. Uppgiften handlar om rotation / centripetalkraft. Kan du några samband? Vad måste gälla för att partikeln ska hållas kvar i sin bana?

Uppgiften innehåller en fjäder. Kommer du ihåg  något samband mellan kraft och fjäderförlängning?

Jag tänker att man kan använda cylinderkoordinater på något sätt men får det inte att fungera.

För att partikeln ska hållas kvar i sin bana måste väl accelerationen i radiell riktning ut mot fjädern vara 0?

Ja det finns ju svängningsekvationen och F = -kx ?

I uppgiften står det att rotationen sker i en cirkelbana med konstant hastighet $\dot{\theta}=\omega$. Vi får anta att det sker med konstant radie i dynamisk jämvikt utmed den glatta ytan, dvs ingen höjd eller gravitation inblandad. 

För att massan ska följa cirkelbanan måste den accelereras i radiell led och redan på gymnasiet lärde vi oss att $a_r=V^2/r=r\omega^2$.

Men du kan också härleda den genom att använda cylinderkoordinater, då är lägesvektorn

$\mathbf{r}=r\hat{r}$

$\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}=r\dot{\theta}\hat{\theta}$

I det sista steget utmyttjade vi att $\dot{r}=0$

Deriverar vi ytterligare en gång med avseende på t får vi

$\ddot{\mathbf{r}}=-r\dot{\theta}^2\hat{r}=-r\omega^2\hat{r}$

Där vi återigen utnyttjade att $\dot{r}=\ddot{\theta}=0$

Nu ställer vi upp Newtons andra lag i radiell led:

$F_{fj}=-mr\omega^2$

$-k\Delta r = -m(R+\Delta r)\omega^2$

D4NIEL skrev:

I uppgiften står det att rotationen sker i en cirkelbana med konstant hastighet $\dot{\theta}=\omega$. Vi får anta att det sker med konstant radie i dynamisk jämvikt utmed den glatta ytan, dvs ingen höjd eller gravitation inblandad. 

För att massan ska följa cirkelbanan måste den accelereras i radiell led och redan på gymnasiet lärde vi oss att $a_r=V^2/r=r\omega^2$.

Men du kan också härleda den genom att använda cylinderkoordinater, då är lägesvektorn

$\mathbf{r}=r\hat{r}$

$\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}=r\dot{\theta}\hat{\theta}$

I det sista steget utmyttjade vi att $\dot{r}=0$

Deriverar vi ytterligare en gång med avseende på t får vi

$\ddot{\mathbf{r}}=-r\dot{\theta}^2\hat{r}=-r\omega^2\hat{r}$

Där vi återigen utnyttjade att $\dot{r}=\ddot{\theta}=0$

Nu ställer vi upp Newtons andra lag i radiell led:

$F_{fj}=-mr\omega^2$

$-k\Delta r = -m(R+\Delta r)\omega^2$

Tack så mycket. Hade glömt att radien förändras och inte är konstant, därför man får R + delta(r). Tack!