Fixpunktsmetoden med bakåt-Euler

Har ni löst denna?

Hej,

Bakåt-Euler ger er systemet

    $x^{n+1}=x^{n}+F_h(x^{n})$

där vektorfunktionen $F_h$ bestäms av funktionerna $f$ och $g$ och steglängden $h$. Systemet kan skrivas som

    $x^{n+1} = G_h(x^{n})$

där du definierar vektorfunktionen $G_h(y) = y+F_h(y)$.

Albiki skrev:

Hej,

Bakåt-Euler ger er systemet

    $x^{n+1}=x^{n}+F_h(x^{n})$

där vektorfunktionen $F_h$ bestäms av funktionerna $f$ och $g$ och steglängden $h$. Systemet kan skrivas som

    $x^{n+1} = G_h(x^{n})$

där du definierar vektorfunktionen $G_h(y) = y+F_h(y)$.

Förstår tack!

Om vi ska iterera med fixpunktsmetoden, är antalet iterationer godtyckligt valda eller använder vi oss av antalet tidssteg?

Vad du kan göra är att dela in tidsintervallet $[t_n,t_{n+1}]$ i $m$ stycken delintervall med steglängder $h_m$ och köra FPI $m$ gånger för att finna god approximation till $x(t_{n+1})$ med utgångspunkt från $x^n$; välj $m$ tillräckligt stort för att få hyfsad konvergens. 

Albiki skrev:

Vad du kan göra är att dela in tidsintervallet $[t_n,t_{n+1}]$ i $m$ stycken delintervall med steglängder $h_m$ och köra FPI $m$ gånger för att finna god approximation till $x(t_{n+1})$ med utgångspunkt från $x^n$; välj $m$ tillräckligt stort för att få hyfsad konvergens. 

Tack!!!!!

Korrigering: Metoden som jag skrivit tidigare är Framåt Euler, men frågan gällde Bakåt-Euler.

    $x^{n+1} = x^{n} + F_h(x^{n+1})$

där vektorfunktionen $F_h$ bestäms av steglängd $h$ och funktionerna $f$ och $g$. För att finna $x^{n+1}$ behöver man lösa det icke-linjära ekvationssystemet

    $G_h(y)=y$

där vektorfunktionen $G_h(y) = x^n+F_h(y).$

För varje $x^n$ skapas en följd $(y_k^n)_{k=0}^\infty$ där

    $\displaystyle y_0^n=x^n\\y_{k+1}^n=G_h\left(y_k^n\right).$

Om $G_h$ är en kontraktion så kommer följden att konvergera mot en fixpunkt till $G_h$ vilken är den sökta vektorn $x^{n+1}$.

    $\displaystyle x^n \stackrel{\left(y_k^n\right)_{k=0}^{\infty}}{\longrightarrow} x^{n+1}$