Fixpunktsiteration

Jag tror bara att de syftar på fixpunktsmetoden. Om jag minns rätt kan man tänka så här. Vi börjar med att skriva om ekvationen

$x^2=x^3+2 \iff 0 = x^3-x^2+2$

Vi ser nu att vi kan lägga till $x$ i båda HL och VL och fortfarande ha samma ekvation, alltså

$x = x^3-x^2+2 + x$

Vi kan också se att vi hade kunnat multiplicera ekvationen med $\alpha$ först och sen lägga till $x$, alltså

$x = \alpha(x^3-x^2+2) + x$

I dessa två fall är det ju ganska lätt att välja en iteration, vi låter helt enkelt $x$ i VL vara $x_{n+1}$ och $x$ i HL vara $x_n$.

Frågan är nu alltså vilka av deras formler som kan återföras till någon av dessa former. De som kan det uppfyller ju originalekvationen.

Till att börja med går det direkt att se att alternativ 2, 3, 4, 5 inte är fixpunktsformler till ekvationen. Vidare måste påpekas att för fixpunktsiteration bedöms lämplighet inte enbart utifrån att funktionen beskrivs av en fixpunktsformel. Ett krav för att formeln ska vara lämplig för att finna en rot $x*$ är att:

$\left|g_i\text{'}(x*)\right|<1$

Där $i=1, 6, 7, 8$. Detta säger alltså att absolutbeloppet av fixpunktsfunktionens derivata nära roten måste vara mindre än ett.  Vi studerar formlernas derivator kring roten:

$\left|g_1\text{'}(-1)\right|=\left|-\frac{3{(-1)}^2}{2\sqrt{{(-1)}^3+2}}\right|=\frac{3}{2}>1$

$\left|g_6\text{'}(-1)\right|=\left|-\frac{1}{50}\left({3(-1)}^2-2(-1)-50\right)\right|=\frac{9}{10}\approx 1$

$\left|g_7\text{'}(-1)\right|=\left|\frac{9}{50}\left({(-1)}^3-{(-1)}^2-\frac{50}{9}(-1)+2\right)\right|=\frac{1}{10}<1$

$\left|g_8\text{'}(-1)\right|=\left|{(-1)}^3-{(-1)}^2+(-1)+2\right|=4>1$

Vi ser här att det egentligen bara är fixpunktsformel 6 och 7 som är lämpliga. Det som avgör vilken av dem man väljer är hur nära derivatan är ett. Ju längre ifrån den är, ju färre iterationer behövs för att hitta roten (reserverat för att startgissningen är väl vald). 

Slutsats

Enbart fixpunktsformel 7 är lämplig, vilken är:

$x_{n+1}=-\frac{9}{50}(x_n^3-x_n^2-\frac{50}{9}{x}_n+2)$