Fixed point iteration

Det beror på var man börjar. Vet man x₀?

kan börja på $x_0=1$

Ja, det skrev du ju.

På den här sidan finns en bra bild, fast de börjar på -1: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_iteration

Man kan approximera kurvan med dess tangent nära fixpunkten, och då känns det lätt att räkna ut hur mycket närmare man kommer för varje iteration med en smula geometri.

Man kan utnyttja medelvärdessatsen för att hitta en lämplig lipschitzkonstant för cosinusfunktionens iterationer. Den sökta lösningen uppfyller $x^* = \cos(x^*)$, så

$|x^* - x_{i+1}| = |\cos(x^*) - \cos(x_i)| \le |\sin(\xi_i)| \cdot |x^*-x_i|$,

där $\xi_i$ ligger någonstans mellan $x^*$ och $x_i$. Man kan därmed göra en uppskattning

$|x^* - x_{i+1}| \le |x^*-x_0| \cdot \prod_{k=0}^i |\sin(\xi_k)|$.

Det återstår att uppskatta sinusvärdena. En väldigt grov uppskattning skulle vara att $|\sin(\xi_k)| < |\sin(1)| \le 0.842$, så $|x^* - x_{i+1}| \le 0.842^{i+1} /3$. Sedan är det bara att hitta ett $i$-värde, så att felet blir mindre än 10^(-12).

Man kan få en betydligt bättre uppskattning om man inser att $x_4 < 0.8$, så $|\sin(\xi_k)|<0.718$ för alla $k \ge 4$.

okej jag tror jag förstår, så man vet liksom inte $\sin \left({\xi }_k\right)$så man får uppskatta den då och eftersom att vi har x0 = 1 så kan vi använda detta i sin funktionen som ett uppskattat värde?
jag skulle inte kunna använda x* i uppskattningen för sin funktionen? eller måste jag använda x0 då det är där jag startar? för jag kommer väl ändå behöva använda x* i formeln för att kunna beräkna detta?

Jag vet inte vad ramarna för uppgiften kräver men en uppskattning ges av:

$|x_n-x*|\approx f'(\xi_i)^n |x_0-x*|$

Där vi alltså vill ha $|x_n-x*|<\epsilon$. Sedan kan du gissa värdet på $|x_0 - x*|$ utifrån basala kunskaper om fixpunktsekvationen. Du vet i detta fall definitivt att $0\leq |x_0 -x*|\leq 2$. Men detta kan du smalna av för mer korrekta uppskattningar. Likaså gäller för Lipschitzkonstanten.