1 svar
75 visningar
Fibonacci behöver inte mer hjälp
Fibonacci 231
Postad: 22 mar 2018 17:36

First-order regression model

Consider the first-order autoregression model

xt=10+0,9xt-1+wt,where wt ~ N(0,σ2w) with σ2w=1

A. Find the psi-weight representation for this model. (5 points)
B. Suppose that we have n = 50 observations,  σ2w = 1 and X50 = 20. Forecast the values at both times 51 and 52, and create prediction intervals for both forecasts.

Har tyvärr ingen aning om hur man löser en sån här uppgift. Tacksam för hjälp. 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 22 mar 2018 21:50

Hej!

Uppgift A. Du ska uttrycka din AR(1)-modell som en MA-modell,

    xt=μt+wt+ψ1wt-1+ψ2wt-2+ψ3wt-3+=μ+wt+k=1ψkwt-k. \displaystyle x_{t} = \mu_{t} + w_{t} + \psi_{1}w_{t-1} + \psi_{2}w_{t-2} + \psi_{3}w_{t-3} + \cdots = \mu + w_{t} + \sum_{k=1}^{\infty} \psi_{k}w_{t-k}.

Koefficienterna ( ψ \psi ) måste bli mindre ju längre tillbaka i tiden man går, så att

    k=1|ψk|<; \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|\psi_{k}| < \infty;

så småningom gäller det att |ψk| |\psi_{k}| är mindre än 1/k 1/k .

  • Eftersom alla brustermer ( w w ) har väntevärde noll så är

        μt=E(xt) \displaystyle\mu_{t} = \mathbf{E}(x_{t}) .

  • Upprepad insättning av AR-modellen i sig själv ger den önskade MA-modellen.

        xt=10+0.9·10+0.92xt-2+0.9wt-1+wt=10(1+0.9+0.92+)+wt+0.9wt-1+0.92wt-2+0.93wt-3+ \displaystyle x_{t} = 10 + 0.9\cdot 10 + 0.9^2x_{t-2} + 0.9 w_{t-1}+w_{t} = 10(1+0.9+0.9^2+\cdots) + w_{t} + 0.9w_{t-1} + 0.9^2w_{t-2} + 0.9^3w_{t-3}+\cdots .

Kontroll: Bekräfta att dessa ψ \psi -vikter så småningom är små (mindre än 1/k 1/k ).

Uppgift B. Processvärdets prognos vid tidpunkten t=51 t = 51 är lika med väntevärdet E(x51). \mathbf{E}(x_{51}).

  • Den givna AR-modellen ger prognosen 

        x^51=E(x51)=10+0.9E(x50)+E(w51)=10+0.9·20+0. \displaystyle\hat{x}_{51} = \mathbf{E}(x_{51}) = 10 + 0.9\mathbf{E}(x_{50}) + \mathbf{E}(w_{51}) = 10 + 0.9 \cdot 20 + 0.

  • Prognosens medelfel är lika med standardavvikelsen

        SE(x^51)=Var(x51)=Var(x50)+Var(w51)+Cov(x50,w51), \displaystyle \text{SE}(\hat{x}_{51})=\sqrt{\text{Var}(x_{51})} = \sqrt{\text{Var}(x_{50})+\text{Var}(w_{51})+\text{Cov}(x_{50},w_{51})}, där kovariansen mellan x50 x_{50} och w51 w_{51} är lika med noll eftersom brustermen w51 w_{51} är okorrelerad med tidigare brustermer (som bygger upp processvärdet x50 x_{50} ).

  • Prognosens prediktionsintervall (med konfidensgrad 95 %) är lika med intervallet

        x^51±1.96SE(x^51). \displaystyle\hat{x}_{51} \pm 1.96 \text{SE}(\hat{x}_{51}).

Albiki

Svara
Close