Finns det tillämpningar hos integraler inom ren matte?

Det första som ploppar upp är att man kan använda integraler för att lösa vissa differentialekvationer, t ex med en integrerande faktor.

I vektoranalysen behandlar man både kurvintegraler och ytintegraler och även om det är matematik så märker man som student att man lär sig räkna ut de integralerna för att utöka verktygslådan för kommande fysikkurser. Vektorfält tillhör ju iofs matematik men de finns ju för att kunna beskriva olika fält i fysiken.

Komplex analys i matematiken är ett område som många tycker är abstrakt och långt ifrån verkligheten, men kunskaperna därifrån används ju också i fysiken, bland annat för att kunna hantera växelströmmar.

Så jag vet inte, men det vore väldigt intressant att höra!

Teraeagle skrev:

Det första som ploppar upp är att man kan använda integraler för att lösa vissa differentialekvationer, t ex med en integrerande faktor.

Åh just det, ja. 

Då säger jag såhär då: finns det tillämpningar hos bestämda integraler inom ren matte?

Qetsiyah skrev:

Åh just det, ja. 

Då säger jag såhär då: finns det tillämpningar hos bestämda integraler inom ren matte?

Antingen förstår jag inte din fråga eller också kan svaret vara så enkelt som "Beräkna arean av det område som begränsas av x-axeln och grafen till $f(x)=4-x^2$".

Quetsiyah, vad menar du med "ren matematik"? Är det matematik som man inte kan komma på någon tillämpnig till? Då är det svårt att hitta några exempel alls. Fram till för några tiotal år sedan kunde man säga talteori, för ingen männinska hade någon användning för att veta om ett tal  med 54 siffror var ett primtal eller inte, men sedan kom man på att man kan ha nytta av att det är lätt att multiplicera ihop två stora tal men svårt att faktorisera det framräknade talet till kodning, så utan stora primtal hade Internet så som vi känner det inte kunnat existera. Talteori har alltså fått en tillämpning och skulle i så fall inte vara "ren matematik" längre.

Inom stokastiska metoder använder du integraler och det är en strikt matematisk disciplin i grenen tillämpad matematik.

Man kan ju bevisa vissa lagar med integraler. Logaritmlagen ln(x*y)=ln x+ln y har ju ett snyggt bevis med integraler.

Jag vet inte riktigt om det räknas som en "tillämpning", men när jag läste en kurs i differentialgeometri för några år sedan var en av de stora punch-linesens den så kallade Gauss-Bonnets sats.

Snabbt förklarat så säger den att den "totala kurvaturen" (som är en geometrisk egenskap) på en kompakt orienterbar yta bara beror på ytans Euler-karaktäristik (som är en topologisk egenskap). Det är ganska coolt att den totala kurvaturen är en så pass "robust" egenskap, som "tål" att man töjer ut och trycker ihop ytan och gör andra ganska våldsamma topologiska deformationer. Dessutom är det festligt att se att Euler-karaktäristiken (som kanske känns lite abstrakt om man bara ser på den från ett topologiskt perspektiv) faktiskt har en ganska djup betydelse, och att sen $\pi$ dyker upp lite smått oväntat gör ju inte saken sämre.

Utdrag ur föreläsningsanteckningarna från kursen, som visar ett (av flera) sätt som satsen kan uttryckas på: 

Lägg märke till att den totala kurvaturen uttrycks med hjälp av just en integral!

(För den som är nyfiken på att lära sig mer om detta så finns det ett helt avsnitt av podcasten My Favorite Theorem som är dedikerat till Gauss-Bonnet, och som är ganska lättebegripligt även om man är ny på detta med differentialgeometri.)

Ett kanske ännu bättre exempel är den så kallade isoperimetriska olikheten, som du kanske minns att jag har tjatat om vid ett tidigare tillfälle. Den kan formuleras på följande sätt:

Den isoperimetriska olikheten. Om du har en bit snöre med en viss längd $L$, och vill innesluta ett så stort område som möjligt med hjälp av snöret, så bör du forma snöret till en cirkel. Arean du får då är $\frac{L^2}{4\pi}$, och det går att visa att varje annan form än en cirkel ger en mindre area (exempelvis får man $\frac{L^2}{16}$ om man formar snöret till en kvadrat).

Och som jag skrev tidigare så kan detta visas med hjälp av just integraler:

Ett sätt att [bevisa den isoperimetriska olikheten] är att använda Greens formel, som berättar att det finns en koppling mellan att integrera på ett tvådimensionellt område och att integrera längs med kanten på området. Mer om detta (och vad det ens innebär att integrera "på ett område" eller "längd med en kurva") lär man sig i kursen flervariabelanalys på universitetet.

En skiss av hur det här beviset ser ut (några detaljer saknas) finns på s. 14 i föreläsningsanteckningarna som jag länkade till tidigare.

Okej, en grej till, som jag tänker kan ge en liten indikation om att integraler även är intressanta i relativt modern* och lite mer abstrakt matematik, som vid första anblicken inte alls har något med area, volym eller andra integral-relaterade koncept att göra (varning för att det blir många ord som du kanske inte har stött på tidigare):

Det finns en hel gren av matematiken som kallas för måtteori som i grund och botten kan sägas handla om olika sätt att generalisera en klassiska Riemann-integralen. Detta är hela grunden för sannolikhetslära och modern matematisk analys, men huvudskälet till att jag själv är intresserad av det just nu, och försöker lära mig lite vid sidan av mina andra kurser, är att det finns ett sätt att (abstrakt) integrera i kompakta Lie-grupper (som är en slags mycket spännande matematiska objekt i gränslandet mellan algebra och geometri, och som är ett av mina matematiska huvudintressen) med hjälp av det så kallade Haar-måttet. Den här typen av integrering har visat sig vara ett mycket användbart verktyg för att visa coola resultat om kompakta Lie-grupper, bland beträffande annat deras representationer (alltså sätten som Lie-grupperna kan verka linjärt på vektorrum), och är ett viktigt steg mot att förstå även icke-kompakta Lie-grupper.

* Jag tror de här idéerna ungefär kommer från slutet av 1800-talet och början av 1900-talet, så 'modernt' är kanske inte rätt ord. Men det är lite mer modernt är Gauss-Bonnet, som nog har varit känt sedan mitten av 1800-talet i alla fall, eller den isoperimetriska olikheten som folk säkert har haft på känn sedan urminnes tider :P

Teraeagle: åh, ja, såklart!

Sinussjuk: ja... det är det som du säger, men så som jag ställde frågan så är det ju rena tillämpningar av integralen. Men det är inte det jag menade typ, det är svårt.

Yngve: det tycker jag är tillämpat även om vi inte säger vad arean representerar för nåt (arbete?).

Smaragdalena: ja, på den tiden skulle den delen av talteorin anses vara ren. Jag frågar efter tillämpningar som är rena IDAG, vad som fortfarande är rent om hundra år vet ingen.

Ebola: men... Det är då tillämpat? Varför nämner du den i så fall?

Jonto: Åh...? det ska jag leta upp. Eller jag menar jag gör det själv såklart!!

Oggih1: vilka andra karaktäristiker finns det i så fall? I övrigt är det prevcis det jag frågar om att... Att en integral dyker upp i en ren text oförväntat. 

Oggih2: Vad jag blir suktad av att gå flervariabelanalys nu. Med "grupp" menas allstså ordet inom abstrakt algebra? Det låter så rent, perfekt svar på min fråga!

Oggih3: åh, ja, det var därför jag frågade dessa frågor: denna och denna. Jag började läsa om lebesgueintegralen som inte alls var så svår att förstå som jag trodde. Jag passade på (eller var tvungen) att läsa om måtterori också, wikipedias lilla intro var väldigt tankeväckande: "Har alla föremål en volym?" (JA?! eller...) och något om att det är omöjligt att definiera volym givet en lista väldigt självklara utsagor...

Qetsiyah skrev:

[...]

Yngve: det tycker jag är tillämpat även om vi inte säger vad arean representerar för nåt (arbete?).

[...]

Ja då missförstod jag uppenbarligen din fråga.

Areaberäkning är ren matte, det har ingenting med vare sig fysik eller kemi att göra.

Qetsiyah skrev:

Med "grupp" menas allstså ordet inom abstrakt algebra?

En Lie-grupp är myket riktigt en grupp i den vanliga bemärkelsen från abstrakt algebra, med tillägget att en Lie-grupp (a) även har en geometrisk struktur (så att den samtidigt kan betraktas som en kurva, yta eller högre-dimensionell så kallad mångfald) och (b) att gruppoperationen och gruppinversionen beter sig som oändligt deriverbara funktioner.

Dock är även Lie-grupper (som i stort sett all matematik!) mer eller mindre motiverade av praktiska tillämpningar. En stor anledning till att de uppfanns och att man studerar dem är att de kan hjälpa oss förstå symmetrin hos lösningar till viktiga differentialekvationer (exempelvis Schrödinger-ekvationen i kvantmekanik). Jag tycker för egen del att Lie-grupper är oerhört vackra och spännande i sig, och de dyker dessutom upp i många andra matematiska områden som jag är intresserad av, och jag har egentligen inte sådär jättebra koll på vad kvantfysikerna använder dem till - men jag tror samtidigt inte jag själv (eller speciellt många andra människor heller för den delen) hade fastnat för dem om inte de här viktiga tillämpningarna fanns någonstans i bakgrunden. Utan behovet av att lösa svåra diffekvationer i fysiken skulle Lie-grupperna och all kringliggande vacker matematik kanske rent av inte ens ha funnits!

Så här tror jag för övrigt att det är med nästan all matematik; de estetiskt vackra och intellektuellt spännnade abstrakta tankefigurerna, som matematiken i grund och botten handlar om, utvecklas i samklang med behov i den verkliga världen. Ibland svävar matematiken ut ganska långt från de ursprungliga praktiska motivationskällorna, men att de finns där i bakgrunden förblir en källa till inspiration - och dessutom dyker det då och då upp nya och ibland ganska förvånande tillämpningar som gör att det här samspelet mellan matematiskt utforskande och tillämpningar ständigt fortsätter.

Jag är därför skeptisk till att försök separera matematiken från sina tillämpningar och tala om saker som "ren" matematik. Finns det verkligen matematik som inte ens på något sätt, varken direkt eller indirekt, motiveras av praktiska tillämpningar? Och även om man nu vill göra någon slags disktion mellan matematik beroende på vad de primära drivkrafterna är, så tycker jag man ska vara väldigt försiktig med ord som kan låta värderande. Att kalla viss matematik för "ren" och annan matematik för "oren" kan t.ex. låta lite nedsättande och förminskande (även om jag absolut inte tror att det var det som var avsikten i den här tråden), och leder kanske inte direkt till några särskilt konstruktiva diskussioner.

Självklart är det en svår distinkition att göra, det kan jag medge nu med en gång. En annan sak jag vill tillägga är att jag inte betraktar relationen mellan ren och tillämpat (oren) som dikotomisk; om areaberäknar med hjälp av bestämda integraler är rent eller orent vet jag inte själv. Men om den enda anledningen du har att inte förespråka denna distinktion är att den är svår att göra, vikket det självklart är, tycker jag inte det räcker. Fortfarande tycker jag att det visar på någonting.

Angående vackerhet (som jag hellre kallar skönhet) och estetiken så har ren matte alltid förundrat och intresserat mig mer. Jag blir inte imponerad av Eulers stegmetod, jag blir inte fascinerad av beviset av pythagoras sats med hjälp av vatten https://youtu.be/CAkMUdeB06o, jag gillar inte avrundning. Jag gillar analys, abstrakt algebra, linjär algebra(!!!!), logik (och måtteori!) (och differentialgeometri som du höll på med i en annan tråd) till skillnad från statistik, numeriska metoder, brute force algoritmer. Dessa saker fascinerar mig så jag ryser, det sista not so much.

Ta KTHs kommande program teknisk matematik till exempel, som jag inte vill gå trots brinnande matematikintresse. Jag gillar inte: sannolikhetsteori och statistik, numeriska metoder grundkurs, statistisk inlärning och dataanalys, analytiska och numeriska metoder för ordinära differentialekvationer, analytiska och numeriska metoder för partiella differentialekvationer, diskret matematik.

Nedsättande eller inte bryr jag mig faktiskt inte om, det är bara en smaksak som alla kan ha olika, inte ska jag tycka att det är nedsättande att folk gillar lakrits! Det är jättebra att matematik kommer till användning, men det är inte då som jag tillfredställs på riktigt.

Tycker du inte att https://youtu.be/OmJ-4B-mS-Y denna videon gör en bra distinktion?

Till att definiera inre produkt i funktionsrum? 

Det var ungefär ett sånt svar jag ville ha, och nu ger jag den till mig själv! Romantiskt