Finns det några problem som kan uppstå om man gör vektorrummet oändligtdimensionellt?

God eftermiddag!

Jag håller på att arbeta med ett projekt där jag nu har snubblat in på vektorrum. Lite bakgroundsinformation finns i inlägg 18 och nedåt i denna tråd.

Jag är inne på huruvida jag vill att mitt (reellvärda) vektorrum ska vara finit- eller oändligtdimensionellt. Det jag redan har bestämt är att den vanliga euklidiska normen ska gälla. Att förena den euklidiska normen med vektorer med ändligt många nollskilda koordinater verkar det inte vara något problem, men uppfattningen av sträcka blir lite konstigare när vektorerna innehåller oändligt många nollskillda koordinater. En vektor som exempelvis $(1,2,3,4,5,6,7,8,...)$ är ju helt informationslös, medan en vektor som $(1,1, 1/2!, 1/3!, 1/4!,...)$ faktiskt innehåller någon information eftersom normen av den vektorn är konvergent.

Hur ska man tänka här, tycker ni? Finns det någon nackdel med att låta vektorrummet vara oändligtdimensionellt?

Man kanske kan börja här: https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktionalanalys

En sak som händer när dimensionen blir oändlig är exempelvis: Den slutna ändligdimensionella enhetsbollen är sluten och begränsad och därför kompakt i den vanliga Euklidiska normen. Den oändligdim motsvarigheten är däremot Inte kompakt. Heine-Borels sats gäller alltså inte där.

Är kompakthet något som påverkar hur vi uppfattar sträcka eller skulle man kunna fortfarande kunna förstå saker som sträcka med den euklidiska normen för en vektor som:

$(1,1,1/2!, 1/3!,...)$ ?

Det verkar ju rimligt eftersom $\left\| (1,1,1/2!,1/3!,...) \right\|$ faktiskt har ett värde.

Om du har tillgång till den Euklidiska normen och håller fast vid hur den är definierad så är det inget större problem, men att få en intuitiv bild av ngt oändligdimensionellt är väldigt svårt. Själv har jag gett upp den ambitionen. Att försöka plocka ut mer information än definitionerna och kända satser är lurigt. Det är inte ovanligt att man upptäcker sig försöka bevisa saker som visar sig falska.

Vad menar du med tillgång till? Kan jag inte bara bestämma att den euklidiska normen ska gälla?

Med ”Att ha tillgång till…” menar jag att ha förstått den och har förmåga att använda den och det tror jag du har.

Om du vill kan du begränsa dig till precis de element där den Euklidiska normen är ändlig och alltså ger mening. Då får du det så kallade $\ell^2$ -rummet, som har många bra egenskaper (som man lär sig om om man läser en kurs i funktionalanalys på universitetet).

Där den euklidiska normen är ändlig i avseendet att normen "konvergerar" för alla vektorer vi tillåter oss stoppa in? Även sådana med oändligt många nollskilda koordinater?

Exakt!

Det låter ju precis som det jag är ute efter, men jag visste inte vad jag skulle söka efter.

Tack så mycket!

Tillägg: 23 mar 2024 12:04

Skulle du ha något exempel på en sådan egenskap som anses vara "bra"?

Det är ett hilbertrum (och därmed också ett banachrum). Så det är alltså fullständigt, vilket vi konstaterade i en annan tråd att $\mathbb{R}[\varepsilon]$ inte är.

Nej precis, men anledningen till att $\mathbb{R}[\varepsilon]$ inte var ett Banachrum var just begränsningen att vi inte tillät oändligt många nollskilda koordinater, eller hur?

Precis! Faktumet att elementen i R[ε] bara har ändligt många tollskillda termer leder till ofullständighet, dvs. att vi får ett "hål" vid exempelvis talet e^ε (i samma bemärkelse som att Q har ett "hål" vid exempelvis talet e).

Svara

Visa senaste svar