Finns det några nackdelar med att definiera tal som lösningar till "karaktäristiska ekvationer"?

Nu kan jag väldigt lite om frågan, men vad händer om det finns flera lösningar? Ta exempelvis $\sqrt[3]{3}$. Om vi definierar det talet som lösningen till ekvationen $x^3=3$, är då $\sqrt[3]{3}$ ett reellt eller ett komplext tal? 

Tillägg: 7 aug 2024 20:28

Som sagt, jag kan väldigt, väldigt lite om talteori, så detta kanske är goddag yxskaft, men det var något jag funderade över när jag läste inlägget.

Ordinaltal har fördelar när man vill studera stora mängders mäktighet. En annan fördel är att vi får en välordning. Men det känns lite som att skjuta myggor med kanon att använda dem för att definiera elementen i N. N är ju f ö välordnad med sin vanliga naturliga ordningsrelation. (Den enda välordnade mängden med den egenskapen jag känner till vid sidan av ordinalerna.)

Tomten skrev:

Ordinaltal har fördelar när man vill studera stora mängders mäktighet. En annan fördel är att vi får en välordning. Men det känns lite som att skjuta myggor med kanon att använda dem för att definiera elementen i N. N är ju f ö välordnad med sin vanliga naturliga ordningsrelation. (Den enda välordnade mängden med den egenskapen jag känner till vid sidan av ordinalerna.)

Jag tror naytte syftar på den mängdteoretiska konstruktionen av de naturliga talen (som man sedan kan bygga vidare på för att definiera ordinaltal).

Det här väcker djupa matematikfilosofiska frågor om vad en "definition" är för något, som jag inte riktigt bottnar i, men här kommer ändå några snabba kommentarer:

Först och främst: Att postulera nya tals existens utifrån en ekvation de ska uppfylla är något man ofta gör inom algebran, när man bildar kvotobjekt av olika slag. Till exempel kan vi betrakta de komplexa talen som kvoten $\mathbb{R}[i]/(i^2+1)$, som helt enkelt är alla polynom i symbolen $i$ med reella koefficienter där vi har introducerat relationen $i^2+1=0$ (formellt är det en ring av ekvivalensklasser på liknande sätt som heltalen modulo n, men det är en historia för en annan gång).

Rent allmänt finns många fördelar med att tänka på matematiska objekt utifrån deras definierande egenskaper på det sätt du beskriver. Inte minst ger det ofta en bra intuition, och om man vill dra det riktigt långt kan man se det som en av grundtankarna i ett matematiskt område som kallas för kategoriteori, som de senaste ~50 åren har kommit att revolutionera stora delar av algebra, geometri och topologi. Ett av nyckelorden där är universella egenskaper som fångar upp just den här idén.

Samtidigt så tror jag de flesta moderna matematiker skulle akta sig för att verkligen definiera nya objekt bara utifrån vilka egenskaper man vill att objektet ska ha. 

En första invändning mot det du skriver skulle kunna vara att det känns som ett cirkelresonemang att definiera $(-1)$ som lösningen till ekvationen $x+1=0$. Innan man har definierat negativa tal så finns det ju ingen lösning till ekvationen?!

Ett försök att undvika detta skulle kunna vara att säga något i stil med att "$(-1)$ definieras som ett tal med egenskapen att $(-1)+1=0$, och i övrigt uppfyller [insert relevanta räkneregler]". Men det väcker fortfarande många frågor.  Vad menar vi när vi säger att $(-1)$ är "ett tal"? Hur vet vi att det inte uppstår några motsägelser när vi bara postulerar att ett sådant tal existerar? Och som Smutstvätt påpekar: hur gör vi om vi vill att det ska finnas flera objekt med egenskapen i fråga?

Varnande exempel: Utvidga heltalen med ett tal $\theta$ vara ett tal som uppfyller $\theta\cdot 0=1$ och distributiva lagen. Då får vi att

   $1=\theta\cdot 0=\theta\cdot (0+0)=\theta\cdot 0+\theta\cdot 0=1+1=2$,

vilket är en motsägelse.

Det dominanta paradigmet i modern matematik är att man försöker undvika oklarheter och få någorlunda kontroll över eventuella motsägelser genom att förankra allt man gör mängdteorin, och de berömda Zermelo–Fraenkel-axiomen (plus eventuellt också urvalsaxiomet). I

stort sett samtliga objekt man stöter på i matematiken kan därför betraktas som mängder av olika slag (som i sin tur kan vara mängder av mängder av mängder... i en lång kedja).

Exempel 1: Du nämnde själv de naturliga talen, som man formellt brukar definiera som

   0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {Ø,{Ø}}, 3 = [Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}, ...

där allt utgår från den tomma mängden (vars existens följer av ZF-axiomen).

Exempel 2: Ordnade par, som vi vardagligt brukar skriva som (a,b) är formellt definierade som mängder på formen {{a},{a,b}}.

Exempel 3: Funktioner brukar formellt definieras som det vi i vardagligt tal kallar grafen till en funktion. Exempelvis är kvadreringsfunktionen $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ med $f(n)=n^2$ formellt lika med mängden

   $\{(n,n^2):n\in\mathbb{N}\}=\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots\}$.

Exempel 4: Ett vanligt sätt att bygga heltalen från de naturliga talen är till exempel att definiera dem som mängder av par av naturliga tal, där till exempel 

    Helltalet 1 = {(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),...}

    Heltalet 5 = {(5,0),(6,1),(7,2),(8,3),...}

    Heltalet -1 = {(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),...}

    Heltalet -3 = {(0,3),(1,4),(2,5),(3,6),...}

I praktiken går de flesta matematiker inte runt och tänker i termer av nästlade mängder i vardagen, men när man ska definiera ett nytt objekt är insikten ofta att göra det som en mängd (eller ett ordnat par, eller en funktion, eller något annat som i grund och botten är mängd).

Att bygga vidare på tidigare definierade objekt på det här sättet passer också väldigt bra ihop med hur man skapar objekt i programmering, vilket nog också får räknas som en styrka av det här paradigmet.     

Tack för det utförliga svaret!

En fråga jag dock har är om det som Smutstvätt påpekar verkligen är ett så stort problem? Vi vet ju att alla polynom av grad $n$ kommer ha exakt $n$ lösningar (om vi får cirkelresonera lite, vi kan ju bara veta detta om komplexa tal finns). Dessa kan naturligtvis vara samma lösningar (exempelvis i andragradare med dubbelrötter). Skulle man inte kunna definiera $\sqrt[3]{3}$ som en av lösningarna till ekvationen $x^3-3=0$? Det känns rimligt att alla "tal" (både reella och komplexa) kan beskrivas som nollställen till sådana "karaktäristiska" polynom, eller vad man nu ska kalla dem.

Ett försök att undvika detta skulle kunna vara att säga något i stil med att "$(−1)$ definieras som ett tal med egenskapen att $(−1)+1=0$, och i övrigt uppfyller [insert relevanta räkneregler]". Men det väcker fortfarande många frågor. Vad menar vi när vi säger att $(−1)$ är "ett tal"? Hur vet vi att det inte uppstår några motsägelser när vi bara postulerar att ett sådant tal existerar?

Detta är något som jag har tänkt och tänkt och tänkt på, men jag har aldrig kommit närmare något förnuftigt. Jag förstår att om man bara skapar saker i termer av objekt som redan finns (enligt ZF-axiomen) så kan man inte "skapa motsägelser" (men hur vet vi att ZF-axiomen inte redan säger emot varandra?). Någonstans känns det så extremt konstigt att vi bara kan:

1. Postulera att det finns mängder

2. Definiera de naturliga talen som nästlade mängder

3. Postulera att dessa objekt har praktiska tillämpningar

Det jag inte kan greppa är hur något vi bara "höftat fram" kan fungera. Jag kan köpa att vi kan definiera symbolerna $0,1,2...$ som mängder. Men det känns, ursäkta språket, skitkonstigt att vi sedan bara kan använda dessa symboler för att faktiskt göra saker. Det verkar helt orimligt på något sätt.

Poängen är att, så fort vi börjar använda dessa objekt vi bara har skapat, så verkar det som att vi postulerar att de existerar. Märker nu att jag inte riktigt kan uttrycka vad det är jag inte fattar, så det är svårt att förmedla det till andra. Känner mig bara dum när jag tänker på detta. Andra matematiker verkar har kommit till någon insikt jag bara inte kan nå.

Alltså "nästan inga" reella tal är rötter till polynom med rationella koefficienter. Vi kan också utvidga Q till någon mängd Q' med vilka element vi vill: så länge Q' är uppräknelig är "nästan inga" reella tal rötter till polynom med koefficienter i Q'.

Rent generellt: varje formellt språk har uppräkneligt många formler, så ett formellt språk kan bara definiera uppräkneligt många tal via en karaktäristisk formel. 

Även om vi använde många olika formella språk skulle det inte duga, det skulle behövas ouppräkneligt många formella språk för att tilldela varje reellt tal en alldeles egen karaktäristisk ekvation. 

Man kan naturligtvis invända att alla praktiskt intressanta reella tal är beräkneliga och att de beräkenliga talen är uppräkneligt många, det finns faktiskt en sådan skola "computable analysis" kallas den skolan inom matematikens grunder. Det är svårt för mig att bedöma om det är rimligt, som oggith skriver är detta i princip matematikfilosofi.

naytte skrev:

Men det känns, ursäkta språket, skitkonstigt att vi sedan bara kan använda dessa symboler för att faktiskt göra saker. Det verkar helt orimligt på något sätt.

Du är i gott sällskap! En klassisk text på det här temat är The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences av Eugene Wigner.

Tack, det var en väldigt intressant artikel!

Jag har bara en liten fråga kvar. En väldigt grundläggande sådan. När vi påstår att "reella tal existerar", eller "komplexa tal existerar", menar vi då egentligen att vi med utgångspunkt i ZF(C)-axiomen kan skapa dessa objekt? Alltså att talens existens är en logisk konsekvens av axiomen?

Finns det då egentligen hur många olika (men för det mesta värdelösa) taltyper som helst? 

Det är en spännande fråga! En liten motfråga: Vad räknar du som en "taltyp"? Tänker du dig en mängd med någon slags räkneoperationer som uppfyller vissa kriterier (t.ex. en kropp)?

Ja, precis. Inte nödvändigtvis något så komplext som en kropp dock, utan jag tänker mig bara en mängd med någon eller några (binära) operationer definierade på sig. Kanske också någon form av ordning.

Då är svaret att det finns otroligt många talsystem, i bemärkelsen att ZFC-axiomen implicerar att de formellt "existerar". Exakt vad det innebär att "existera" ger ZFC-axiomen inget svar på, på samma sätt som de inte säger något om vad exakt en "mängd" är för något. Det är bara ord som följer massa logiska regler. Om man vill lägga någon metafysisk betydelse i att "existera" så får man gå till filosofin, där det är relaterat till frågor som denna.

Men ja, i ZFC så finns det väldigt många talsystem. Faktiskt så pass många att man inte ens kan bilda en mängd av alla taltyper!

För att göra detta mer precist kan vi gå lite längre än du hade i åtanke, och för enkelhetens skull säga att ett talsystem är en kropp, alltså en mängd med addition och multiplikation som uppfyller kraven i definitionen av en kropp.

Det som följer nu är så klart överkurs, men det kanske ändå förmedlar någon slags känsla för hur argument i mängdteori kan låta. Låt oss börja med följande faktum:

Sats 1: Varje mängd $M$ vars kardinalitet antingen är en primatalspotens eller oändlig kan utrustas med en addition $+$ och en multiplikation $\cdot$, sådana att $(M,+,\cdot)$ är en kropp.

Att mängder med primtalspotenser kan göras till kroppar lär man sig oftast i en första kurs i abstrakt algebra, medan påståendet att alla oändliga mängder kan göras till kroppar kräver mer avancerad logik för att visa.

En klassisk variant av Russels paradox säger att det finns för många oändliga mängder för att man ska kunna skapa en mängd av dem i ZFC:

Sats 2: Det finns ingen mängd av alla oändliga mängder.

Eftersom Sats 1 säger att det finns minst en kropp för varje oändlig mängd, så får vi följande följdsats:

Korollarium 3: Det finns ingen mängd av alla kroppar.

Nu kanske du vill invända att jag överräknar antalet talsystem, eftersom två talsystem med två olika underliggande mängder mycket väl kan ha samma struktur, i bemärkelsen att de är isomorfa, alltså samma upp till en strukturbevarande bijektion ("omdöpning av elementen"). Till exempel kan man skapa kroppen av reella tal med hjälp av en mängd av dedekindsnitt eller en mängd av ekvivalensklasser av cauchyföljder – strikt taget ger detta två olika kroppar, men de är isomorfa. 

Så hur många kroppar finns det upp till isomorfi? Fortfarande så fruktansvärt många att det inte går att skapa en mängd av dem i ZFC! Om det finns en bijektion mellan två mängder så har de nämligen samma kardinaltal, och ett klassiskt resultat i mängdteori säger följande:

Sats 4: Det finns ingen mängd av alla oändliga kardinaltal. 

Eftersom Sats 1 medför att vi kan hitta en kropp för varje kardinaltal, som alltså inte kan vara isomorf med en mängd med något annat kardinaltal, så ger detta oss följande:

Sats 5: Det finns ingen mängd $\mathcal{K}$ av kroppar sådan att varje kropp som existerar är isomorf med en kropp i $\mathcal{K}$.

Tack så mycket för ditt utförliga svar!

Det känns som om jag äntligen börjar förstå vad matematiken (i grunden) faktiskt är för något! :D