Finns det några fall då Newtons fluxionsmetod inte fungerar men derivatans definition gör?

Detta är ingen läxa. Jag frågade matteläraren och han sa att han trodde de fanns några men kunde inte komma på några exempel. Han bad mig försöka ta reda på om det fanns några. Jag tror inte på att de finns några och alla exempel jag försökt har funkat.

Finns det några fall då Newtons fluxionsmetod inte går att använda för att hitta derivatan av en funktion men derivatans definition funkar?

Exempel: Derivatan av f(x) = x^2

Derivatans definition:

$f (x) = x^{2} \frac{d y}{d x} x^{2} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} \frac{d y}{d x} x^{2} = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h^{2} + 2 x h - x^{2}}{h} \frac{d y}{d x} x^{2} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 x h}{h} \frac{d y}{d x} x^{2} = \lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h} \frac{d y}{d x} x^{2} = \lim_{h \to 0} h + 2 x \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x$

Enligt Newtons fluxionsmetod:

$y = f (x) y = x^{2} y + \dot{y} o = f (x + \dot{x} o) y + \dot{y} o = {(x + \dot{x} o)}^{2} y + \dot{y} o = x^{2} + {\dot{x}}^{2} o^{2} + 2 x \dot{x} o y = x^{2} x^{2} + \dot{y} o = x^{2} + {\dot{x}}^{2} o^{2} + 2 x \dot{x} o \dot{y} o = {\dot{x}}^{2} o^{2} + 2 x \dot{x} o \dot{y} = {\dot{x}}^{2} o + 2 x \dot{x} \dot{y} = 2 x \dot{x} Ersätt o med 0 \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = 2 x$

Som det går att se är metoderna mycket lika, det är delvis därför jag inte tror det finns några fall då enbart ena skulle fungera. Jag löste problemen i lite mer detalj än jag vanligtvis hade gjort för att de skulle vara tydligt vad jag gjorde.

Alla svar är mycket uppskattade.

Har diskuterat med några jag känner, de tycker det bara ser ut som olika sorters notation. Stämmer det?

Av vad jag vet så tror jag att ordet "fluxion" betyder samma sak som derivata och enligt Newton so är o ett infinitesimal tal vilket beryder samma sak som h i derivatans definition för i Newtons sätt så bort ser man o extremt litet så att man inte ens behöver tänka på det. Så jag skulle säga att man kan använda både 2 för alla uppgifter för de beräknar samma sak fast på olika sätt.

Tamix skrev:
Av vad jag vet så tror jag att ordet "fluxion" betyder samma sak som derivata och enligt Newton so är o ett infinitesimal tal vilket beryder samma sak som h i derivatans definition för i Newtons sätt så bort ser man o extremt litet så att man inte ens behöver tänka på det. Så jag skulle säga att man kan använda både 2 för alla uppgifter för de beräknar samma sak fast på olika sätt.

Så förstår jag det också. Att o är så litet man bara kan ersätta det med 0 när man vill. Jag fick höra från en annan att det hade att göra med infinitesimaler och klassisk analys vs icke-standardanalys.

Den intressanta skillnaden verkar vara i parametriseringen. I vanliga fall bara antar man att den farten x rör sig med är 1, och stoppar man in det blir det samma uträkning. Så jag skulle gissa att man kan räkna ut fler saker med fluxmetoden, typ om funktionen är lodrät någonstans, men då finns ju heller ingen vanlig derivata att få fram så vet inte om det räknas 🤔

Micimacko skrev:
Den intressanta skillnaden verkar vara i parametriseringen. I vanliga fall bara antar man att den farten x rör sig med är 1, och stoppar man in det blir det samma uträkning. Så jag skulle gissa att man kan räkna ut fler saker med fluxmetoden, typ om funktionen är lodrät någonstans, men då finns ju heller ingen vanlig derivata att få fram så vet inte om det räknas 🤔

Har du några exempel av funktioner som är lodräta någonstans? Och vad skulle användningen vara av att ändra farten x rör sig med?

En cirkel tex, x=cos v, y=sin v, testa vad som händer om du stoppar in.

Det är ju inte funktioner om de är lodräta, men om man vill räkna på andra kurvor. Ibland går det inte göra x' till 1 och ibland är det inte värt besväret.

Men det här är ganska långt ifrån vad jag har koll på så förhoppningsvis kan någon annan ge ett bättre svar. Var första gången jag såg den här fluxgrejen för en kvart sen 🙈

Micimacko skrev:
En cirkel tex, x=cos v, y=sin v, testa vad som händer om du stoppar in.

Det är ju inte funktioner om de är lodräta, men om man vill räkna på andra kurvor. Ibland går det inte göra x' till 1 och ibland är det inte värt besväret.

Men det här är ganska långt ifrån vad jag har koll på så förhoppningsvis kan någon annan ge ett bättre svar. Var första gången jag såg den här fluxgrejen för en kvart sen 🙈

Ok. Tänkte funktioner inte kunda vara lodräta.

Efter ytterligare tanke har jag kommit på att funktioner inte kan vara lodräta.

Svara

Visa senaste svar