Finns det något sätt att skriva om uttryck som ln5 eller ln3 med "tal"?

Det korta svaret på din fråga är Nej.

Vi har infört beteckningen ln5 för att kunna uttrycka det tal x som löser ekvationen

e^x = 5.

Så alla tal ln(e^x) kan såklart uttryckas som x, men det var inte det du menade. Liksom alla tal lg(10^x) kan skrivas x.

Liten korrigering: sin(pi/2) = 1, det är sin(pi/4) som är 1/sqrt2. Och till exempel sin5 kan du inte uttrycka utan trigonometriska funktioner. Förmodligen kan du med mycket trixande åstadkomma ett uttryck för sin(1°) utan trigonometri, men jag vet inget allmänt sätt för sinv.

Dock kan du med Taylorserier åstadkomma godtyckligt goda närmevärden till ln- och sinusfunktioner. 

naytte skrev:

[...]

Låt säga att man löser en ekvation som t.ex. $e^x=5$. Då blir svaret som bekant $x=\ln 5$. Men jag undrar om det inte finns något sätt att skriva om $\ln 5$ med bara tal, alltså utan någon logaritm. Ungefär på samma sätt som $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt2}$.

[...]

Om du tycker att $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ är ett sätt att uttrycka det irrationella talet $\frac{\pi}{4}$ med hjälp av ett "tal" så borde du även tycka att $e^{\ln(5)}=5$ är ett sätt att uttrycka det irrationella talet $\ln(5)$ som ett "tal".

Jag tror du missförstår min fråga lite, eller så missförstår jag ditt svar.

Det jag vill är att uttrycka tal som t.ex. $\ln 5$ utan någon funktion. Men om jag förstår Marilyns svar rätt går detta oftast inte.

Frågan kanske är utredd. Men en fundering.

Vi hittar på en funktion, t ex kvadrering. f(x) = x²

Då ställs vi efter en stund inför ekvationer som x² = 7. För att lösa den måste vi införa den inversa funktionen ”roten ur”.

Inför vi funktioner som y = a^x så kommer vi få behov av funktionen log_a y.

Inför vi plus, så behöver vi snart minus, inför vi gånger behöver vi delat med.

Här öppnar sig en tunnel.

343 = 7³ kan skrivas  7 = ”tredjeroten ur” 343, dvs

Om y = 7^x så är  7 = ”x-te roten” ur y. Men vi kan också skriva

logy = x log7, dvs x = (logy)/log7

I din ekvation har vi 5 = e^x. På samma sätt kunde man skriva om det som 

e = ”x-te roten ur” 5.

Kopplar vi ihop det får vi att e = (ln 5)-te roten ur 5.

(Exempel: e³ är nära 20. Tredjeroten ur 20 ≈ e och ln20 ≈ 3.)

Så det finns en tunnel mellan logaritmer och rötter. Jag ser dock inte mycket ljus i tunneln :)

naytte skrev:

Jag tror du missförstår min fråga lite, eller så missförstår jag ditt svar.

Troligtvis missförstår jag din fråga.

Det jag vill är att uttrycka tal som t.ex. $\ln 5$ utan någon funktion. Men om jag förstår Marilyns svar rätt går detta oftast inte.

Menar du alltså om det går att skriva t.ex. talen ln(5) som ett exakt värde där man inte användet funktionen ln?

I så fall är svaret nej, men i vissa fall går det.

Du har redan hittat att sin(pi/4) kan skrivas som ett exakt värde.

Det går även att skriva ln(e¹¹) som 11•ln(e), vilket är lika med 11, dvs ett exakt värde.

På samma sätt kan vi skriva $\sqrt{\frac{4}{9}}$ som det exakta värdet $\frac{2}{3}$, men vi kan inte skriva t.ex. $\sqrt{7}$ som ett exakt värde.