Finns det något bevis?
Finns det något bra bevis för att i de punkter där en polynomfunktion har ett lokalt max- eller minimi?
Påståendet du försöker bevisa är inte sant så nej, det går inte att visa.
Men jag är ganska säker på att jag förstår vad det är du egentligen vill visa. Man kan göra det på många sätt, exempelvis med sekanter, genom att visa att det är en motsägelse om f'(x)>0 eller tvärtom, genom fermats teorem etc.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_(stationary_points)#Proof
Påståendet du försöker bevisa är inte sant så nej, det går inte att visa.
Vad är det som inte stämmer med det? Eller snarare, vad är fel i min formulering?
Ser inget fel i din formulering.
Ofta brukar man formulera det så här.
Låt f vara deriverbar i x0, om f har lokalt max/min i x0 så gäller det att f’(x0) = 0.
Eftersom polynom är deriverbara så följer ditt påstående.
Om man menar för de polynom som har ett max/min kräver f'(x)=0 håller jag med.
Oftast på PA så brukar man förvänta sig att det gäller för alla polynom, vilket det inte gör. Det finns polynom som varken har ett max/min, utan en sadelpunkt exempelvis.
Ja, precis, det är viktigt att inse att omvändningen inte gäller. Dvs vi kan ha att f’(x0) = 0, utan att funktionen har vare sig max eller min i x0.
Aha, okej. Jag kanske borde ha ställt frågan lite mer tydligt.
Hur som helst tackar jag för svar! Jag ska kika på länken du bifogade, @Dracaena.
Ett bevis kommer här från boken "Matematik för ingenjörer" av Staffan Rodhe och Håkan Sollervall.
Den boken är bra som uppslagsbok när man inte förstår tycker jag.
Låt f(0)=0 vara ett lokalt maximum och antag att f’(0)>0. Att f(0)=0 är ett lokalt maximum innebär att det finns ett s>0 sådant att f(x)<0 för alla x i intervallet -s<x<s . Att f’(0)>0 medför att det finns r i intervallet 0<s sådant att (f(x)-0)/(x-0)>0 för 0<x<r<s ==> f(x)>0 för 0<x<r. Detta strider mot definitionen av lokalt maximum. Det allmänna fallet följer genom att betrakta g(x)=f(x-x0)-f(x0), där (x0,f(x0)) är den aktuella Max-punkten. Vi har visat generellt för deriverbara fkner. Polynom är specialfall av dessa. Såg ej att frågan redan var besvarad.
