Finns det någon tangent till kurvan som går genom punkten?

Det som ligger närmast till hands för mig är att resonera lite grann, med derivatan som bevis för att det man säger håller. Såhär tänker jag: en tangent touchar funktionen och sticker sedan iväg åt vardera håll med riktningar som ges av derivatan i den punkten.

Eftersom frågan gäller punkten (0, 2) använder jag x=0 som utgångspunkt. Med risk för att räkna upp självklarheter:

(1) x är antingen mindre, lika med eller större än 0.

(2) y(0) = 9 - 0^2 = 9

(3) y'(x) = -2x

Av (3) ser vi att funktionen har maxvärdet vid 0 och i (2) ser vi att det värdet är 9, så om det finns en tangent genom (0, 2) är det inte vid x=0 den touchar funktionen. 

För att det ska finnas en tangent för x>0 behöver lutningen bli positiv så att en linje kan leta sig tillbaka ned mot (0, 2), men i (3) ser vi att lutningen är negativ för alla x>0.

På motsvarande sätt, för att det ska finnas en tangent för x<0 behöver lutningen bli negativ så att en linje kan leta sig ned mot (0, 2), men i (3) ser vi att lutningen är positiv för alla x<0.

Så jag skulle säga att svaret är nej, vilket är tydligt om man tillåter sig att rita upp grafen.

Men om tangenten är positiv för alla x>0 tangerar den väl inte kurvan som kommer falla efter x=0? Och på samma sätt x<0 borde väl ha en tangent med positiv lutning?

Har du ritat? Om inte, gör det!

Hej

Istället för att resonera dig fram kan du visa det lite mer matematiskt.

Vi säger att det finns en punkt $\left(a,y\left(a\right)\right)$ på kurvan och som går igenom punkten $(0,2)$. Vi vet att k-värdet (lutningen för linjen) måste vara samma sak som:

$k=\frac{∆y}{∆x}=\frac{y\left(a\right)-2}{a-0}=\frac{9-a^2-2}{a}=\frac{7-a^2}{a}$

Vi vet också att $k=y\text{'}\left(a\right)\iff k=-2a$

Eftersom $k=k\iff -2a=\frac{7-a^2}{a}$. Vad kan du göra för slutsats om du försöker lösa ut vad $a$ är?

Anderssinho skrev :

Men om tangenten är positiv för alla x>0 tangerar den väl inte kurvan som kommer falla efter x=0? Och på samma sätt x<0 borde väl ha en tangent med positiv lutning?

Nja tangenten är negativ för x>0 (y’(x) = -2x), och precis som du är inne på så inser man då att det inte ser så lovande ut att hitta en tangent som går genom (0, 2). Sen måste man ju kolla på x<0 också, fast där är det tangenter med negativ lutning som behövdes.

Men, den matematiska lösningen som föreslogs här innan tycker jag nog är bättre än mitt resonerande... kanske hjälper det dig med förståelsen, men det blir onekligen prydligare om man kan stolpa upp det i lite clean matematik.

Vän av ordning vill bara påpeka att en tangent är en rät linje.

En tangent är därför vare sig positiv eller negativ.

Däremot så kan man säga att tangentens lutning är positiv, negativ eller lika med 0.

Yngve skrev :

Vän av ordning vill bara påpeka att en tangent är en rät linje.

En tangent är därför vare sig positiv eller negativ.

Däremot så kan man säga att tangentens lutning är positiv, negativ eller lika med 0.

Bra där. Bara onödigt att slarva.