Finns det någon funktion förutom kontinuerliga linjära funktioner som är linjär någon gång?

Jag är inte säker på att jag förstår din fråga.

Jag tolkar den som följer:

"Jag har tre punkter som jag vet ligger på grafen till y = f(x). Dessa tre punkter ligger på en linje. Betyder det att f(x) är en linjär funktion?"

I så fall är svaret nej.

Motexempel: f(x) = x³ har de tre punkterna (-1, -1), (0, 0) och (1, 1) på linje. Men f(x) är inte en linjär funktion.

Yngve skrev:

Jag är inte säker på att jag förstår din fråga.

Jag tolkar den som följer:

"Jag har tre punkter som jag vet ligger på grafen till y = f(x). Dessa tre punkter ligger på en linje. Betyder det att f(x) är en linjär funktion?"

I så fall är svaret nej.

Motexempel: f(x) = x³ har de tre punkterna (-1, -1), (0, 0) och (1, 1) på linje. Men f(x) är inte en linjär funktion.

Jaha, nä jag menar att om relationen mellan dessa tre punkter generar ett linjärt förhållande, kan jag med all säkerhet deducera att följaktliga punkter de med kommer att inneha detta linjära samanband? Dvs hur många punkter eller hur långt avstånd mellan punkterna kan jag med all säkerhet veta att relationen mellan alla andra punkter kommer vara linjära? Kan tex x^2, x^3, x^4, x^1/2, log2(x) eller någon annan funktion utöver f(x) = x vara linjär vid något tillfälle? (förlåt, nu blev det två frågor typ).

Zerenity skrev:

Jaha, nä jag menar att om relationen mellan dessa tre punkter generar ett linjärt förhållande,

Då förstår jag inte, vad menar du med att "relationen mellan tre punkter genererar ett linjärt förhållande" om det inte var som i mitt motexempel?

kan jag med all säkerhet deducera att följaktliga punkter de med kommer att inneha detta linjära samanband? Dvs hur många punkter eller hur långt avstånd mellan punkterna kan jag med all säkerhet veta att relationen mellan alla andra punkter kommer vara linjära?

Se ovan, jag förstår inte vad du menar. Kan du ge ett exempel?

Kan tex x^2, x^3, x^4, x^1/2, log2(x) eller någon annan funktion utöver f(x) = x vara linjär vid något tillfälle? (förlåt, nu blev det två frågor typ).

Nej, av dessa funktioner är endast f(x) = x linjär. Övriga är inte linjära någonstans.

Men det är inte endast f(x) = x som är linjär överallt. Det gäller för alla funktioner på formen f(x) = kx+m, t.ex. f(x) = 3x+2, f(x) = x/7, f(x) = -31 o.s.v.

Det finns även funktioner som är styckvis linjära, vilket kanske är vad du är ute efter?

T.ex. f(x) =

• x² för x < 0
• 2x för 0 $\leq$ x < 1
• x²+1 för x $\geq$ 1

Denna funktion är linjär i ett intervall.

f(x) = -31 är väl inte linjär överhuvudtaget?

Ja precis, det var styckvis linjär som jag var ute efter, så funktioner undergår alltså inga drastiska svägningar i lutning när x går mot oändlighet väl dvs det är mer osannolikt för funktioners lutning att byta riktning när x går mot oändligheten? Jag gör nämligen asymptotisk analyis, och fenomenet att funktioner kan inneha en annan funktion styckvisst händer oftast nära x = 0 väl?

Zerenity skrev:

f(x) = -31 är väl inte linjär överhuvudtaget?

Jo, den uppfyller sambandet f(x) = kx+m, där k = 0 och m = -31.

Rita linjen så ser du att sambandet är linjärt

Ja precis, det var styckvis linjär som jag var ute efter, så funktioner undergår alltså inga drastiska svägningar i lutning när x går mot oändlighet väl dvs det är mer osannolikt för funktioners lutning att byta riktning när x går mot oändligheten?

Nej, så är det inte. Vad menar du med "osannolikt" i det här sammanhanget?

Pratar du kanske om matematiska funktioner som försöker modellera en fysisk verklighet?

Jag gör nämligen asymptotisk analyis, och fenomenet att funktioner kan inneha en annan funktion styckvisst händer oftast nära x = 0 väl?

Nej, det kan hända var som helst.

Har du något verkligt exempel?

Den -31 grejen fick mig att tänka om lite ..... jag hade för mig av nån anledning att ett linjärt samband måste ha k > eller < än 0 i kx + m av nån anledning. Nej jag kan inte visa ett verkligt exempel, det händer nog men jag håller på med diskret matematik och då berör jag bara fenomen där x och y är > 0, så i diskret matematik kan jag väl påstå att det är osannolikt för funktioners lutning att byta riktning när x går mot oändligheten antar jag, tack!!!!

Yngve skrev:

Zerenity skrev:

f(x) = -31 är väl inte linjär överhuvudtaget?

Jo, den uppfyller sambandet f(x) = kx+m, där k = 0 och m = -31.

Rita linjen så ser du att sambandet är linjärt

Ja precis, det var styckvis linjär som jag var ute efter, så funktioner undergår alltså inga drastiska svägningar i lutning när x går mot oändlighet väl dvs det är mer osannolikt för funktioners lutning att byta riktning när x går mot oändligheten?

Nej, så är det inte. Vad menar du med "osannolikt" i det här sammanhanget?

Pratar du kanske om matematiska funktioner som försöker modellera en fysisk verklighet?

Jag gör nämligen asymptotisk analyis, och fenomenet att funktioner kan inneha en annan funktion styckvisst händer oftast nära x = 0 väl?

Nej, det kan hända var som helst.

Har du något verkligt exempel?

Nu när jag tänker efter igen, linjär innebär väl att om man ökar x så *ökas* y proportionelligt för varje x, detta stämmer ju inte för y = -31 då det inte sker någon ökning alls?

Zerenity skrev:

Nu när jag tänker efter igen, linjär innebär väl att om man ökar x så *ökas* y proportionelligt för varje x, detta stämmer ju inte för y = -31 då det inte sker någon ökning alls?

Det stämmer att en linjär funktion f(x) = kx+m innebär att när x ökar med 1 enhet så ökar f(x) med k•1 enheter.

I fallet f(x) = -31 så är k = 0, vilket innebär att när x ökar med 1 enhet så ökar f(x) med 0•1 = 0 enheter.

Yngve skrev:

Zerenity skrev:

Nu när jag tänker efter igen, linjär innebär väl att om man ökar x så *ökas* y proportionelligt för varje x, detta stämmer ju inte för y = -31 då det inte sker någon ökning alls?

Det stämmer att en linjär funktion f(x) = kx+m innebär att när x ökar med 1 enhet så ökar f(x) med k•1 enheter.

I fallet f(x) = -31 så är k = 0, vilket innebär att när x ökar med 1 enhet så ökar f(x) med 0•1 = 0 enheter.

Jag har dock för mig att det är en definitionsfråga då ett forumsinlägg konstantera att m != 0 gör funktionen linjär medans m = 0 gör funtionen konstant... tråd: "How to explain the difference between a constant function and a linear function?". Jag är ingen matimatiker så men är denna definition då som jag nyss skrev inte aktuell inom ämnet?

I min värld är en konstant funktion ett specialfall av en linjär funktion, på samma sätt som en kvadrat är ett specialfall av en rektangel.

Alla konstanta funktioner är linjära, men alla linjära funktioner är inte konstanta.

Finns det något i forumdiskussionen som motsäger det?

På universitet har begreppet "linjär" en mer inskränkt betydelse än på gymnasiet. Detta kan ha bidragit till en förbistring som skymtar i denna tråden. Definitionen i vårt fall blir som följer: En funktion A:R-->R är linjär omm A(x+y)=A(x)+A/y) och  A(t x)=t A(x) för alla reella x och t. Skulle A vara en konstant funktion på R säg A(x)=1 för alla x. Så skulle A(0)+A(1)=1+1=2, vilket är omöjligt. Grafiskt är det således endast linjer genom origo som representerar "linjära" funktioner. Övriga linjers funktioner har ett annat namn som sover sött i mitt medvetande. Anledningen till ovanst. torde vara, att man vill ha linearitet definierat också för funktioner på andra rum än bara R. T ex kallas en diff ekvation Lineär om operatorn som representerar vänsterledet i  y''+ay'+by=0 är lineär i ovanstående mening. Operatorn i fråga arbetar då på rummet C²(R) = mängden av två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner y(x) på R.

Yngve skrev:

I min värld är en konstant funktion ett specialfall av en linjär funktion, på samma sätt som en kvadrat är ett specialfall av en rektangel.

Alla konstanta funktioner är linjära, men alla linjära funktioner är inte konstanta.

Finns det något i forumdiskussionen som motsäger det?

Nä såg inte det men jag ska upprätthålla bägge sidor! 

Tomten skrev:

På universitet har begreppet "linjär" en mer inskränkt betydelse än på gymnasiet. Detta kan ha bidragit till en förbistring som skymtar i denna tråden. Definitionen i vårt fall blir som följer: En funktion A:R-->R är linjär omm A(x+y)=A(x)+A/y) och  A(t x)=t A(x) för alla reella x och t. Skulle A vara en konstant funktion på R säg A(x)=1 för alla x. Så skulle A(0)+A(1)=1+1=2, vilket är omöjligt. Grafiskt är det således endast linjer genom origo som representerar "linjära" funktioner. Övriga linjers funktioner har ett annat namn som sover sött i mitt medvetande. Anledningen till ovanst. torde vara, att man vill ha linearitet definierat också för funktioner på andra rum än bara R. T ex kallas en diff ekvation Lineär om operatorn som representerar vänsterledet i  y''+ay'+by=0 är lineär i ovanstående mening. Operatorn i fråga arbetar då på rummet C²(R) = mängden av två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner y(x) på R.

Tack! 

OK bra, då tänkte jag i fel (dvs gymnasie-) banor avseende begreppet "linjär".

Det handlar inte om rätt eller fel här, snarare om olika behov. Gymnasiedeffen är överlägset bäst från pedagogisk synpunkt. Ingen av oss skulle försöka truga i en gymnasist den andra deffen. Inte heller hävdar jag att mitt inlägg är lösningen på gåtan, bara en möjlighet, eftersom detta var en universitetstråd.

Om linjen går utanför origo har vi ett exempel på en sammansättning av en linjär avbildning och en translation, det brukar kallas affin avbildning. Geometriskt utgör de affina avbildningarna alla operationer som bevarar räta linjer.

Tack! Affin var ordet som låg och sov i bakhuvudet.