Finns det någon begränsning på formeln?

Det finns ju en ganska trevlig formel man kan komma fram till:

$\displaystyle a\sin kx\pm b\cos kx=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot \cos(kx\mp \arctan\frac{b}{a})$

Jag kommer inte ihåg hur jag kom fram till denna formel när jag sysslade mycket med trigonometri, utan endast att formel såg ut så här. Finns det någon begränsning på några av konstanterna a, b och k?

Egentligen inte. Ideen är att utnyttja formeln sin(x+y)= sin x cos y+cos x sin y där a= cos y och b= sin y. Detta stöter emellertid på problem för sin och cos kan ju inte bli >1 och dessutom måste a²+b²=1 om a ska vara cos för en vinkel och b sinus för samma vinkel och det har vi ju inte heller från början. Därför bildar man de nya konstanterna a/sqr(a²+b²) och b/sqr(a²+b²) och simsalabim är saken klar.

Tomten skrev:
Egentligen inte. Ideen är att utnyttja formeln sin(x+y)= sin x cos y+cos x sin y där a= cos y och b= sin y. Detta stöter emellertid på problem för sin och cos kan ju inte bli >1 och dessutom måste a²+b²=1 om a ska vara cos för en vinkel och b sinus för samma vinkel och det har vi ju inte heller från början. Därför bildar man de nya konstanterna a/sqr(a²+b²) och b/sqr(a²+b²) och simsalabim är saken klar.

Tack för svar! På ett liknande sätt finns ju formeln $a \sin k x + b \cos k x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin (k x + \tan^{- 1} (b / a))$

Finns det något fall då denna inte gäller förutom där a<0 (varvid man ju ändå bara kan bryta ut -1 ur VL)?

För a=b=0 får man inte skriva sqr(a²+b²) i nämnaren, men då är å andra sidan formeln helt onödig. I övrigt gäller den för alla reella a och b. Hur den gäller för komplexa a och b har jag aldrig haft anledning att undersöka trots en bakgrund i komplex analys.

Svara

Visa senaste svar