Finns det ett lättare sätt?

Det finns absolut ett mer effektivt sätt att göra detta på! Vi kan skriva funktionen $f(x)$ som en sammansatt funktion, på formen: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)={\left(\cos \left(x\right)\right)}^4 \\ h\left(x\right)=\cos \left(x\right) \\ g\left(x\right)=x^4 \end{gathered}$$

Om vi nu tittar på den allmänna taylorutvecklingen, är den $T\left(a\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(x\right)}{2!}{(x-a)}^2+...+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)}{4!}{(x-a)}^4$. 

Vad händer med f(x), nu när vi har en sammansatt funktion? :)

Smutstvätt skrev:

Det finns absolut ett mer effektivt sätt att göra detta på! Vi kan skriva funktionen $f(x)$ som en sammansatt funktion, på formen: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)={\left(\cos \left(x\right)\right)}^4 \\ h\left(x\right)=\cos \left(x\right) \\ g\left(x\right)=x^4 \end{gathered}$$

Om vi nu tittar på den allmänna taylorutvecklingen, är den $T\left(a\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(x\right)}{2!}{(x-a)}^2+...+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)}{4!}{(x-a)}^4$. 

Vad händer med f(x), nu när vi har en sammansatt funktion? :)

Tack för svaret! :)

Jag tror att jag förstod vad du menade, så jag ritade upp det:

Tyvärr blir det väldigt mycket att hålla reda på i slutet, så jag vet inte om jag kanske missförstod, men det kändes lite lättare när jag ritade ut det i alla fall.

Utveckla bara cos till grad 4, och upphöj utvecklingen direkt. Typ (1-x2/2+x4/24+O(x5))^4.

Micimacko skrev:

Utveckla bara cos till grad 4, och upphöj utvecklingen direkt. Typ (1-x2/2+x4/24+O(x5))^4.

Äntligen förstår jag, tack för hjälpen!

Såhär löste jag det:

Jag började med att ta fram maclaurinpolynomet för cos x få fram de första 6 derivatorn.

Därefter upphöjde jag utvecklingen av mitt polynom enligt:

Jag behövde bara multiplicera högst till att jag fick x^4 eftersom vi ville ha det av fjärde graden.

Jag är dock lite osäker på varför du skrev x^5, jag tänker det borde vara x^6 eftsom femte derivatan av cos x är -sinx som är noll då x är noll?

Varför skulle jag derivera en gång till om jag vet att jag vill ha 4?