Finns det en sats om derivator som säger att två funktioner är lika?

Taylorpolynom approximerar funktioner genom dess oändliga derivator i en viss punkt (om denna punkt är 0 kallas det Maclaurinpolynom).

Undersök unikhet av dessa så kanske du får någonting som liknar din sats?

Det var faktiskt Taylorpolynom som förde mig till denna fundering. Specifikt var det min knackliga motivering till varför Taylorpolynom "fungerar" i denna tråd:

https://www.pluggakuten.se/trad/taylor-polynom-2/

Intuitivt skulle man verkligen kunna tänka sig att det finns en sådan sats, men tyvärr stämmer det inte. I grund och botten är varje derivata $f^{(n)}\!{(a)}$ bara lokal information om hur funktionen ser ut i just punkten $a$, och det finns inga garantier för att detta ska ge dig information om resten av funktionen.

Ett klassiskt motexempel är funktionen $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definierad av

   ${f(x)}=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x^2}&\text{om $x\neq 0$}\\0&\text{om $x=0$}\end{array}\right.$

och den konstanta funktionen $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $g(x)=0$.

Man kan verifiera (med hjälp av derivatans definition!) att $f^{(n)}\!{(0)}=g^{(n)}\!{(0)}$ för alla $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$, men att det likt förbannat gäller att $f(x)\neq g(x)$ för alla $x\neq 0$.

oggih skrev:

Intuitivt skulle man verkligen kunna tänka sig att det finns en sådan sats, men tyvärr stämmer det inte. I grund och botten är varje derivata $f^{(n)}\!{(a)}$ bara lokal information om hur funktionen ser ut i just punkten $a$, och det finns inga garantier för att detta ska ge dig information om resten av funktionen.

Ett klassiskt motexempel är funktionen $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definierad av

   ${f(x)}=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x^2}&\text{om $x\neq 0$}\\0&\text{om $x=0$}\end{array}\right.$

och den konstanta funktionen $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $g(x)=0$.

Verifiera gärna som övning (med hjälp av derivatans definition!) att $f^{(n)}\!{(0)}=g^{(n)}\!{(0)}$ för alla $n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$, men att det likt förbannat gäller att $f(x)\neq g(x)$ för alla $x\neq 0$.

Känns som att det finns möjlighet att slänga in lite krav på f och g sådan att satsen stämmer.

Tänkte först att $f,g\in C^{\infty }$, men det verkar väl redan vara fallet (inte trivialt för f, men bör väl stämma?).

Kan vi hitta några andra krav på funktionerna som exkluderar det fallet du tog upp?

Utmärkt fråga – som jag tyvärr inte har något bra svar på!

Först och främst har du rätt i att både $f$ och $g$ i mitt exempel är $C^\infty$ (i bemärkelsen att de är släta, dvs. oändligt deriverbara i alla punkter).

Det vi skulle göra är att begränsa oss till analytiska funktioner $f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. I så fall gäller nayttes förmodan – men detta följer mer eller mindre direkt av själva definitionen av analytiskhet, så det känns lite som att fuska!

Skulle du kunna komma på något motexempel som inte är styckvis definierat?

Ett annat klassiskt exempel är

  ${f(x)}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{-\sqrt{2^k}}{\cos(2^kx)}.$

(Men rent allmänt skulle jag personligen inte säga att det är en speciellt fundamental egenskap hos en funktion att vara "styckvis definierad", eftersom det bara handlar om vårt symbolspråk för att beskriva funktioner.)

EDIT - feltänkt.