Finns det en sådan sats?

x+y=k fungerar eftersom att de reella och komplexa talen är slutna under addition.

xy=k kommer tyvärr inte fungera för de reella talen, ta t.ex. x=0 och k=1.
Dock fungerar det för $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$ (och motsvarande för de komplexa talen).

Dock fungerar det för $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (och motsvarande för de komplexa talen).

Eftersom de reella talen är slutna under multiplikation då, antar jag? (bortsett från 0!)

Hur visar man egentligen slutenhet för räknesätten? Jag har bara köpt att vissa mängder är slutna och andra inte, men hur visar man att det är så?

naytte skrev:

Dock fungerar det för $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (och motsvarande för de komplexa talen).

Eftersom de reella talen är slutna under multiplikation då, antar jag? (bortsett från 0!)

Precis, mängden $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$ är sluten under multiplikation. Medan hela $\mathrm{ℝ}$ är sluten under addition.

Hur visar man egentligen slutenhet för räknesätten? Jag har bara köpt att vissa mängder är slutna och andra inte, men hur visar man att det är så?

Det följer ganska direkt av definitionen av grupper har jag för mig. Vet inte exakt på vilket sätt, men sök upp lite om grupper (eller "abstract algebra" om du vill ha engelsk litteratur).

Yes, tack så mycket!

Jag diskuterade nämligen den där satsen om infinitesimala förändringskvoter med min handledare och han sade att han kunde köpa min motivering med att man alltid kan hitta ett $k$ sådant att $f(x+\tilde\varepsilon) = f(x)+k\tilde\varepsilon$ OM jag lyckas visa slutenhet för multiplikation i min utvidgade mängd.

naytte skrev:

Jag diskuterade nämligen den där satsen om infinitesimala förändringskvoter med min handledare och han sade att han kunde köpa min motivering med att man alltid kan hitta ett $k$ sådant att $f(x+\tilde\varepsilon) = f(x)+k\tilde\varepsilon$ OM jag lyckas visa slutenhet för multiplikation i min utvidgade mängd.

Spännande! Ja, kika på beviset för slutenhet av $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$ t.ex. Det beviset du behöver följer förhoppningsvis ganska naturligt.

Jag tror jag fick till ett fint bevis av slutenhet nu för multiplikation. Jag härmade ungefär hur man visar slutenhet för multiplikation över $\mathbb{Z}$.

Vad menar ni när ni pratar om slutenhet?

Jag skulle personligen säga att en mängd $M$ är sluten under en operation $\star$ om $x\star y$ ligger i $M$ för alla $x,y\in M$.

Med den definitionen är hela $\mathbb{R}$ slutet under både addition och multiplikation. Men det stämmer även att $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ är slutet under multiplikation (men inte addition).

oggih skrev:

Jag skulle personligen säga att en mängd $M$ är sluten under en operation $\star$ om $x\star y$ ligger i $M$ för alla $x,y\in M$.

Det är detta jag avser med slutenhet också. Du har helt rätt i att hela $\mathbb{R}$ är sluten under multiplikation. Saken här var just att om $x=0$ fungerade det inte. Därför lade CalleK till kravet att noll utesluts.

R är en kropp och i axiomen för en kropp    saknar 0 multiplikativ invers men multiplikationen är sluten. För att visa detta återföres på slutenheten för Q. Detta sker inte utan en viss möda, eftersom man måste gå tillbaka på Dedekindsnitten.

Om någon är intresserad ser mitt "bevis" ut på följande sätt:

Vi börjar med att utgå ifrån definitionen av division:

$\displaystyle \forall p,q,u,v\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:[(p,q)]_\asymp\cdot[(u,v)]_\asymp:=[(pu,qv)]_\asymp$

Mängden som innehåller alla kvoter (som definieras med hjälp av $\asymp$ kallar jag $\mathbb{R}(\varepsilon)$ och definieras som:

$\displaystyle \mathbb{R}(\varepsilon)=\mathbb{R}\{\varepsilon\}\times(\mathbb{R}\{\varepsilon\}\setminus\{0\})/\asymp$

Relationen $\asymp$ definieras enligt: $\displaystyle (x_1,y_1)\asymp (x_2, y_2) \iff x_1 y_2 = x_2 y_1$, där $(x_1,y_1),(x_2, y_2) \in \mathbb{R}\{\varepsilon\}\times(\mathbb{R}\{\varepsilon\}\setminus\{0\})$

$p/q$ definieras då som $[(p,q)]_\asymp$

Vidare konstaterar vi att:

$\displaystyle \forall p,q,u,v\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:[(p,q)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon),[(u,v)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon)$

Eftersom $\displaystyle \forall a,b\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}:ab\in\mathbb{R}\{\varepsilon\}$

Ser vi att:

$\displaystyle [(pu,qv)]_\asymp\in\mathbb{R}(\varepsilon)$

Det vill säga, vi kommer aldrig hamna utanför mängden då vi gör en multiplikation av två bråk. Nu har jag struntat i att skriva till att bl.a. nämnare inte får ha noll i sig osv... Men men.

Vet inte hur mycket det säger eftersom jag inte har visat mitt arbete men om det finns någon stor brist syns det förhoppningsvis.

Tillägg: 15 maj 2024 15:02

Jag får ett slaganfall på det här. LaTeX-formattering förstörs varje gång jag trycker på posta... Tror det finns ett problem med LaTeX-formattering då man försöker skriva den i en spoilerruta.