Finns det en generell formel för diskriminanten för alla polynom (avsett grad)?

På Wikipediaartikeln du länkar står ju att diskriminanten för ett polynom $A(x)=a_nx^n+...a_1x+a_0$ definieras som:

$\text{Disc}_x\left(A\right)=\dfrac{(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}{a_n}\text{Res}_x\left(A,A'\right)$

där $\text{Res}_x(A,A')$ är determinanten av sylvestermatrisen för $A$ och $A$:s derivata.

Är det detta du undrar över?

Ja, det där såg jag också men förstod ingenting. Svaret är ja eller? 

Förstod ingenting tror jag inte på. Var tog det emot?

Jag vet vad en matris är och vad en determinant är faktiskt, men vad är en sylvestermatris och vad betyder disc? Ska man bilda en matris av två polynom där den ena är en derivata av den andra? Vad blir det för matris? 1x2 matris? 2x1 matris?

Vad är n?

$\text{Disc}_x(A)$ betyder 'Diskriminanten av $A(x)$'.

Sylvestermatris är att man tar två polynom av grad $m$ och $n$ och sätter in deras koefficienter i en $m+n\times m+n$-matris. Sylvestermatrisens determinant anger ifall polynomen delar nollställen (att polynomen delar nollställen kan omvandlas till ett ekvationssystem med koefficienterna, därav kan detta avgöras med en determinant).

I detta fall tar vi sylvestermatrisen av $A(x)$ och $A'(x)$. Vi betecknar graden av $A(x)$ med $n$, och då får vi således en Sylvestermatris på formen $n+n-1\times n+n-1=2n-1\times2n-1$. Ifall determinanten av denna sylvestermatris är noll vet vi att $A(x)$ och $A'(x)$ delar minst ett nollställe. Att $A(x)$ och $A'(x)$ delar ett nollställe betyder att det finns en multipelrot (Detta kan visas med produktregeln).

Sedan behöver du även ha klart för dig vad en diskriminant för högre grads polynom (högre än eller lika med grad 4) betyder:

• Ifall diskriminanten är noll finns minst en multipelrot.
• Ifall diskriminanten är positiv är antalet icke-reella rötter en multipel av fyra.
• I annat fall är diskriminanten negativ.

Qetsiyah skrev:

Jag vet vad en matris är och vad en determinant är faktiskt, men vad är en sylvestermatris och vad betyder disc? Ska man bilda en matris av två polynom där den ena är en derivata av den andra? Vad blir det för matris? 1x2 matris? 2x1 matris?

Vad är n?

Man kan hoppa över en del. Längre ner står det explicita uttryck för diskriminanten för tredjegrads- och fjärdegradspolynom.

AlvinB skrev:

$\text{Disc}_x(A)$ betyder 'Diskriminanten av $A(x)$'.

Sylvestermatris är att man tar två polynom av grad $m$ och $n$ och sätter in deras koefficienter i en $m+n\times m+n$-matris. Sylvestermatrisens determinant anger ifall polynomen delar nollställen (att polynomen delar nollställen kan omvandlas till ett ekvationssystem med koefficienterna, därav kan detta avgöras med en determinant).

I detta fall tar vi sylvestermatrisen av $A(x)$ och $A'(x)$. Vi betecknar graden av $A(x)$ med $n$, och då får vi således en Sylvestermatris på formen $n+n-1\times n+n-1=2n-1\times2n-1$. Ifall determinanten av denna sylvestermatris är noll vet vi att $A(x)$ och $A'(x)$ delar minst ett nollställe. Att $A(x)$ och $A'(x)$ delar ett nollställe betyder att det finns en multipelrot (Detta kan visas med produktregeln).

Sedan behöver du även ha klart för dig vad en diskriminant för högre grads polynom (högre än eller lika med grad 4) betyder:

• Ifall diskriminanten är noll finns minst en multipelrot.
• Ifall diskriminanten är positiv är antalet icke-reella rötter en multipel av fyra.
• I annat fall är diskriminanten negativ.

Okej, tack!