Finns det en diagonal matris och en inverterbar matris P? (Matematik/Universitet)

Väldigt länge sedan, men jag får egenvektorer (–2 1)^T och (0 1)^T till egenvärdena 0 resp 2.

Kan man inte normera och bilda P ur dem?

Mogens skrev:
Väldigt länge sedan, men jag får egenvektorer (–2 1)^T och (0 1)^T till egenvärdena 0 resp 2.

Kan man inte normera och bilda P ur dem?

Hur får du dem ? Jag får såhär

Jaha egenvektorer..

Egenvektorerna normeras och bildar kolumner i P. Sedan får du bestämma inversen till P

Mogens skrev:
Egenvektorerna normeras och bildar kolumner i P. Sedan får du bestämma inversen till P

Hur ska jag börja nu? Jag har egenvektor i a) som är t(- 1 1)

Men Av = t(1 1) , ingen egenvektor. Testa med dem jag räknade fram

Mogens skrev:
Men Av = t(1 1) , ingen egenvektor. Testa med dem jag räknade fram

Nu gaussde jag och fick den där egenvektor . Den andra egenvektor har jag ingen koll på var det kommer ifrån..

Jag hade i a) uppgiften egenvärde 0 och 3. Du skrev 2 ,vet ej var 2an kommer ifrån..

Det var du som skrev 0 och 2.

A (0 1)^T = (0 2)^t

så 2 verkar OK

Jag ska kolla för säkerhets skull. Gjorde slarvigt.

Det här är mitt P och P invers nu. Vi söker D

Nej jag hade fel. Räknar själv.

Ja egvä är 0 och 3. Kollar vektorerna

Mogens skrev:
Nej jag hade fel. Räknar själv.

Ja egvä är 0 och 3. Kollar vektorerna

Jag hittade invers P och P enligt bilden ovan.

Lysande! Ursäkta att jag lurade dig (men du lurade mig först…)

Mogens skrev:
Lysande! Ursäkta att jag lurade dig (men du lurade mig först…)

Okej. Sorry! Men facit håller ej med mig

Så länge vi håller ihop är det grönt.

Men serr, i diagonalmatrisen kan elementen byta plats, då ändras P.

Och facit har nog normerat kolonnvektorerna, det är praktiskt, för om jag minns rätt betyder det att inversen är transponatet till P.

Mogens skrev:
Så länge vi håller ihop är det grönt.

Men serr, i diagonalmatrisen kan elementen byta plats, då ändras P.

Och facit har nog normerat kolonnvektorerna, det är praktiskt, för om jag minns rätt betyder det att inversen är transponatet till P.

Fast om jag byter plats på elementet har jag nu( 1 1 1 -2). Tror ej jag är med på vad normera vektorer är..om du menar Pythagoras sats av kolonvektorena så får jag sqrt(5) och sqrt(2)

Förlåt, jag körde också fast. Det med att normera och ta transponat gäller kanske Symmetriska A.

Jag testar vidare.

Mogens skrev:
Förlåt, jag körde också fast. Det med att normera och ta transponat gäller kanske Symmetriska A.

Jag testar vidare.

Aa jag vet ej justnu!

Visa spoiler

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

Är det skalärprodukt? Mellan P och P invers multiplicerat även med A eller gausade man ??

Tillägg: 7 dec 2022 18:48

Man behöver inte räkna så mycket om man ritar

Micimacko skrev:

Tillägg: 7 dec 2022 18:48

Man behöver inte räkna så mycket om man ritar

Hm okej men det besvarar ej frågan på uppgift c) tror din skiss är mer a) uppgiften

P är dina egenvektorer. Nu hittade jag (1 1). Hitta en vektor som passar ihop med egenvärde 0, alltså välj a och b så att det blir (0 0) på högersidan. Så kommer du se att det passar med svaret du fick.

Nej, destiny99, jag är ledsen. Det är något jag glömt här. Hamnar fel. Nu ser jag att en räddningskryssare är på väg.

Micimacko skrev:

P är dina egenvektorer. Nu hittade jag (1 1). Hitta en vektor som passar ihop med egenvärde 0, alltså välj a och b så att det blir (0 0) på högersidan. Så kommer du se att det passar med svaret du fick.

Var kommer vektor (2 2) ifrån ?

Både (11) och (22) högst upp kommer från att jag bara har gångrat ihop matrisen med vektorn. Det är alltså andra kolonnen i A.

Så jag ska alltså räkna ut a och b ? Då får jag facit eller?

Ja. Eller jag vet inte vad facit säger, men du får ett svar. Finns många lösningar.

Micimacko skrev:
Ja. Eller jag vet inte vad facit säger, men du får ett svar. Finns många lösningar.

Ber om ursäkt men jag är förvirrad över den här lösningen...jag trodde vi skulle räkna ut D. Se bild nedan

Ville du bara veta d? Det är egenvärdena lagda på diagonalen. Trodde du skulle räkna ut p också.

Micimacko skrev:
Ville du bara veta d? Det är egenvärdena lagda på diagonalen. Trodde du skulle räkna ut p också.

P är det här mha egenvektorer vi fick i a) uppgiften. Så jag behöver ta fram inversen P och sen räkna ut diagonalen. Men jag vet ej om jag ska gausa för att få D eller om det är matrismultiplikation som gäller?

Jag måste ha räknat fel, för metoden verkar korrekt. Jag har blåst dammet av en linalgbok:

“An nxn matrix A is diagonizable if and only if A has n linearly independent eigenvectors.

If A = PD(P^-1) where D is diagonal, then the diagonal entries of D are the eigenvalues of A and the columns of P are the corresponding eigenvectors.”

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

Hm jag hänger ej med på hur du fick ditt P och P invers. Mitt P är såhär

Mogens skrev:
Jag måste ha räknat fel, för metoden verkar korrekt. Jag har blåst dammet av en linalgbok:

“An nxn matrix A is diagonizable if and only if A has n linearly independent eigenvectors.

If A = PD(P^-1) where D is diagonal, then the diagonal entries of D are the eigenvalues of A and the columns of P are the corresponding eigenvectors.”

Yeah okej. Behöver komma vidare

Hörni jag löste det. Tack för hjälpen!

Om du har beräknat egenvärdena så är den sökta diagonalmatrisen bara egenvärdena på tvären.

Om $\lambda_1=3$ och $\lambda_2=0$ så är

$D=\left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\0 & 0 \end{array}\right)$

Räknar du upp dem i omvänd ordning, dvs $\lambda_1=0$ och $\lambda_2=3$ och

$D=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\0 & 3 \end{array}\right)$

Det är dock viktigt att du förstår vilket egenvärde som hör ihop med vilken egenvektor, de ska korrespondera mot respektive kolonn i P-matrisen (om du väljer att ställa upp $D=P^{-1}AP$

D4NIEL skrev:
Om du har beräknat egenvärdena så är den sökta diagonalmatrisen bara egenvärdena på tvären.

Om $\lambda_1=3$ och $\lambda_2=0$ så är

$D=\left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\0 & 0 \end{array}\right)$

Jag fick exakt såhär med matris multiplikation bara att jag har 0 0 0 3. Det är samma sak. Det var dock en del arbete för att komma dit. Men istället borde man inse att egenvärdena utgör diagnol och resten är nollor

D4NIEL skrev:
Om du har beräknat egenvärdena så är den sökta diagonalmatrisen bara egenvärdena på tvären.

Om $\lambda_1=3$ och $\lambda_2=0$ så är

$D=\left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\0 & 0 \end{array}\right)$

Räknar du upp dem i omvänd ordning, dvs $\lambda_1=0$ och $\lambda_2=3$ och

$D=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\0 & 3 \end{array}\right)$

Det är dock viktigt att du förstår vilket egenvärde som hör ihop med vilken egenvektor, de ska korrespondera mot respektive kolonn i P-matrisen (om du väljer att ställa upp $D=P^{-1}AP$

Aa okej då vet jag.