Finns det effektivare lösning?

Jag såg en ganska trevlig uppgift häromdagen men jag undrar om det finns ett mindre bökigt sätt att lösa den än så som jag gjorde:

Tangenten till funktionen $y=\frac{1}{x}$ i punkten $x=a$ innesluter tillsammans med de positiva koordinataxlarna ett triangulärt område. Visa att detta område blir lika stort oavsett vilket värde man väljer på a.

Jag började med att derivera funktionen för att få fram ett uttryck till tangenten: $y\text{'}\left(a\right)=-\frac{1}{a^2}$. Tangenten kan då skrivas som $y_t=-\frac{1}{a^2}x+m$. Sedan visste man att tangenten gick genom punkten $(a, \frac{1}{a})$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}a+m \\ \Rightarrow m=\frac{2}{a} \end{gathered}$$ 

Så tangentens ekvation kan alltså skrivas som $y_t=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$. För att sedan hitta triangelns bas tar vi fram för vilket x som y_t=0. Det ger: 

$$\begin{gathered} \frac{x}{a^2}=\frac{2}{a} \\ \Rightarrow ax=2a^2 \\ \Rightarrow x=2a \end{gathered}$$

Då vet vi att uttrycket för arean kan skrivas:

$A\left(a\right)=\frac{2a·{\displaystyle \frac{2}{a}}}{2}=\frac{4}{2}=2 a.e$