Finns det effektivare lösning?
Jag såg en ganska trevlig uppgift häromdagen men jag undrar om det finns ett mindre bökigt sätt att lösa den än så som jag gjorde:
Tangenten till funktionen i punkten innesluter tillsammans med de positiva koordinataxlarna ett triangulärt område. Visa att detta område blir lika stort oavsett vilket värde man väljer på a.
Jag började med att derivera funktionen för att få fram ett uttryck till tangenten: . Tangenten kan då skrivas som . Sedan visste man att tangenten gick genom punkten
Så tangentens ekvation kan alltså skrivas som . För att sedan hitta triangelns bas tar vi fram för vilket x som yt=0. Det ger:
Då vet vi att uttrycket för arean kan skrivas:
Antag att linjen skär x-axeln i (p, 0) och y-axeln i (0, q).
Då är linjens ekvation x/p+y/q = 1 (interceptformen för linjens ekvation).
Linjen skär kurvan y = 1/x i punkten (a, 1/a) vilket ger
a/p+1/(aq) = 1
a2–ap+p/q = 0
Eftersom det är en tangent är diskriminanten = 0
P2 = 4p/q
pq/2 = 2
OK, så väldigt mycket lättare blev det inte. Men iaf en alternativ lösning :)
Jag tycker inte att din lösning är bökig, den använder standardmetoder och ger tangentens skärningspunkter med axlarna, vilket ger åskådlighet.
Här är en geometrisk lösning.
Diagonalen i rektangeln har riktningen (-1/a)/a och är alltså parallell med tangenten.
De fyra mindre trianglarna är kongruenta med varandra, vardera med arean 1/2, sammanlagt 2.
Wow, stilpoäng!