Finns det andra tangenter till kurvan

Den andra tangenten ska ha lutningen du räknade ut, men den kan inte sitta i samma punkt, utan du ska ta reda på om det finns någon annan punkt vars tangent har lutning 1.

Okej, så här uppfattar jag det:

Normalen till tangenten ska ha k = 1, och det som jag måste göra är att bestämma konstanten som förskjuter normalen i y-led, för att därefter ta fram linjerna? Jag måste alltså med andra ord lösa ekvationssystemet

$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+4\\ y=x+b\end{array}\right.$

där y = x + b är normalernas ekvation

Du ska hitta punkter där tangenten har lutning 1, så derivatan ska vara lika med 1, och den funktionen räcker.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=x^2+x-1 \\ f\text{'}\left(x\right)=1 \\ 1=x^2+x-1 \iff x_1=1 , x_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=\frac{23}{6} \\ f(-2)=\frac{16}{3} \end{gathered}$$

vilket, med hjälp av enpunktsformeln, ger ekvationerna

$$\begin{gathered} y-\frac{23}{6}=1·(x-1) \iff y = x+\frac{17}{6} \\ y-\frac{16}{3}=1·(x+2) \iff y = x+\frac{22}{3} \end{gathered}$$

Har jag tänkt rätt?

Du tänker helt rätt! Men redan här:

är du klar för nu har du bevisat att det finns 2 ställen på kurvan där tangenten är vinkelrät mot den 1:a tangenten. Så svaret på frågan är alltså "Ja".