Finn samtliga rationella lösningar till en komplex ekvation av grad 5

God kväll!

Jag har tyvärr fastnat på en, i mitt tycke, svår uppgift.

Uppgift:

Låt $p (z) = z^{5} + 2 z^{4} - 6 z^{3} - 22 z^{2} + 65 z, d ä r z \in c$

a) Bestäm alla rationella lösningar till $p (z) = 0$

Hur jag tänkt:

$z^{5} + 2 z^{4} - 6 z^{3} - 22 z^{2} + 65 z = z (z^{4} + 2 z^{3} - 6 z^{2} - 22 z + 65) = 0$

Här ser vi att z = 0 är en rot eftersom z finns som faktor i samtliga koefficienter.

Nu nyttjar jag Rationella Rot Testet (RRT) för den högra faktorn i ekvationen ovan , och ser att $\pm {\frac{1}{1}, \frac{5}{1}, \frac{13}{1}, \frac{65}{1}} = \pm {1, 5, 13, 65}$ är möjliga rationella rötter.

Dock efter testning, är alla dessa rötter felaktiga, för vänster ledet blir ej lika med 0.

Detta leder mig till tanken att man ska attackera problemet annorlunda.

Några tips på vägen?

Hmmm, nu måste vi börja fundera på hur vi kan faktorisera fjärdegradsfaktorn. Ett förslag är att skriva faktorn som en produkt av två andragradspolynom. Eftersom faktorn framför $z^4$ är ett, kan vi skriva faktorerna som $(x^2+ax+b)$ respektive $(x^2+cx+d)$ .

Produkten av de två är $(z^{2} + a z + b) (z^{2} + c z + d) = z^{4} + (a + c) z^{3} + (b + d + a c) z^{2} + (a d + b c) z + b d$

Nu kan vi köra mönstermatchning för att hitta a, b, c och d. :)

Smutstvätt skrev:
Hmmm, nu måste vi börja fundera på hur vi kan faktorisera fjärdegradsfaktorn. Ett förslag är att skriva faktorn som en produkt av två andragradspolynom. Eftersom faktorn framför $z^4$ är ett, kan vi skriva faktorerna som $(x^2+ax+b)$ respektive $(x^2+cx+d)$ .

Produkten av de två är $(z^{2} + a z + b) (z^{2} + c z + d) = z^{4} + (a + c) z^{3} + (b + d + a c) z^{2} + (a d + b c) z + b d$

Nu kan vi köra mönstermatchning för att hitta a, b, c och d. :)

Oooo. Jag tror jag förstår. Med mönstermatching menar du så här:

a + c = 2 (1)

b + d + ac = -6 (2)

ad + bc = -22 (3)

bd = 65 (4)

Ska vi sedan lösa dessa m.h.a. ett ekvationssystem?

Precis!

Svara

Visa senaste svar