Finn samtliga primitiva funktioner av 1/(sin^2x + 2cos^2x)

Hej. Har fastnat på problemet av att finna samtliga primitiva till $\frac{1}{\sin^{2} x + 2 \cos^{2} x}$

Jag provade att ersätta sin x och cos x med $\sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}} o c h \cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} d ä r t = \tan \frac{x}{2}$

Jag vet inte om detta är rätt sätt att angripa problemet. Oavsett så kom jag såhär långt då:

$\frac{1}{\sin^{2} x + 2 \cos^{2} x} = \frac{1}{\frac{{(2 t)}^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}} + \frac{{(1 - t^{2})}^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}} = \frac{1 + 2 t^{2} + t^{4}}{4 t^{2} + 2 - 4 t^{2} + 2 t^{4}} = \frac{1 + 2 t^{2} + t^{4}}{2 + 2 t^{4}} P o l y n o m d i v . g e r \frac{1}{2} + \frac{2 t^{2}}{2 t^{4} + 2} E f t e r s o m t = \tan \frac{x}{2} ä r x = 2 a r c \tan t \frac{d x}{d t} = D a r c \tan t - > d x = \frac{2 d t}{1 + t^{2}} P r o b l e m e t ä r n u a t t h i t t a \int \frac{4 t^{2}}{(2 t^{4} + 2) (t^{2} + 1)} d t$

Jag försökte partialbråksuppdelning på den sista då men det blev inte riktigt rätt. Såhär såg det ut:

$\frac{A t + B}{2 t^{4} + 2} + \frac{C t + D}{t^{2} + 1} = \frac{4 t^{2}}{(2 t^{4} + 2) (t^{2} + 1)} C t^{5} = 0 - > C = 0 D t^{4} = 0 - > D = 0 ? ?$

Som inte riktigt leder mig någonstans för då får jag 0/t^2+1 och jag vet inte riktigt hur rimligt det är eller hur man integrerar det ens. Har någon några råd eller ser några misstag jag gör här? Upskattar all hjälp! :)

Ser ut som du har 1 + cos^2 x i nämnaren?

Drottvik skrev:
Ser ut som du har 1 + cos^2 x i nämnaren?

Det är sant. Tycker du jag ska prova samma substitution som jag gjorde här på den eller ska jag prova någon annan metod?

Edit: alltså med $\cos x = \frac{1 - \tan^{2} {\frac{x}{2}}^{}}{1 + \tan^{2} {\frac{x}{2}}^{}}$

Oj, detta var ingen enkel integral! Men testa att skriva om uttrycket:

$\frac{1}{\sin^{2} x + 2 \cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x + 1} = \frac{1}{\frac{1}{s e c^{2} x} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\tan^{2} x + 1} + 1} = \frac{1}{\frac{\tan^{2} x + 2}{\tan^{2} x + 1}} = \frac{\tan^{2} x + 1}{\tan^{2} x + 2} = \frac{s e c^{2} x}{\tan^{2} x + 2}$

och sedan sätt u=tan(x)...

Truppeduppe skrev:
Oj, detta var ingen enkel integral! Men testa att skriva om uttrycket:

$\frac{1}{\sin^{2} x + 2 \cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x + 1} = \frac{1}{\frac{1}{s e c^{2} x} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\tan^{2} x + 1} + 1} = \frac{1}{\frac{\tan^{2} x + 2}{\tan^{2} x + 1}} = \frac{\tan^{2} x + 1}{\tan^{2} x + 2} = \frac{s e c^{2} x}{\tan^{2} x + 2}$

och sedan sätt u=tan(x)...

Det tog mig verkligen år att fatta, jag skäms nästan. Jag satt och tänkte " Jaha, hur är $\frac{u^{2} + 1}{u^{2} + 2}$ lättare att integrera? "

Sen insåg jag ju att sec^2x är ju $d u$ så då var det bara att köra standardgränsvärde med arctan! Svaret blev då $\frac{a r c \tan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$ Tog mig bokstavligen 30 min av försök med den förstnämnda integralen innan jag fattade haha. Den omskrivningen med sec^2 x = tan^2x + 1 var väldigt användbar dock. Tror faktiskt inte jag sett den förr, känns ju självklar nu men men. Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar