Finn rest vid polynomdivision med stort gradtal

Om p(x) är ett polynom som delas med ett annat polynom d(x) så är kvoten k(x) och resten r(x) tillsammans funktioner som tillfredsställer

p(x) = k(x)d(x) + r(x)

och där det centrala även är att r(x) är ett polynom av lägre grad än divisorpolynomet d(x). I detta fall är divisorpolynomet x + 2 ett polynom av grad 1 så resten är ett polynom av grad 0; dvs en konstant r(x) = C. 

$x^{100} + x^{67} - x^{32} - 2x^9 + 1 = k(x)(x + 2) + C$

Genom att betrakta denna form direkt kan man komma fram till ett trick för att ta fram C utan att behöva beräkna kvoten k(x).

SeriousCephalopod skrev:

Om p(x) är ett polynom som delas med ett annat polynom d(x) så är kvoten k(x) och resten r(x) tillsammans funktioner som tillfredsställer

p(x) = k(x)d(x) + r(x)

och där det centrala även är att r(x) är ett polynom av lägre grad än divisorpolynomet d(x). I detta fall är divisorpolynomet x + 2 ett polynom av grad 1 så resten är ett polynom av grad 0; dvs en konstant r(x) = C. 

$x^{100} + x^{67} - x^{32} - 2x^9 + 1 = k(x)(x + 2) + C$

Genom att betrakta denna form direkt kan man komma fram till ett trick för att ta fram C utan att behöva beräkna kvoten k(x).

Jaa precis! Hade också kollat på den formuleringen, fast jag har sett den som

$\frac{p\left(x\right)}{d\left(x\right)}=k\left(x\right)+\frac{{\displaystyle r\left(x\right)}}{d\left(x\right)}$

Det känns dock som att jag stirrar mig blind på denna. Har du någon ledtråd? Går det att lösa algebraiskt utifrån detta?

Ja. Generellt kan man finna rester utan att behöva bestämma kvoten genom att stoppa in några specifika, väl valda, x-värden i uttrycket. 

SeriousCephalopod skrev:

Ja. Generellt kan man finna rester utan att behöva bestämma kvoten genom att stoppa in några specifika, väl valda, x-värden i uttrycket. 

Typ x = -2

Smart! tänkte inte på det uppenbara att man kan få bort k(x) genom d = 0 haha

Tack för hjälpen!

Inga problem.

SeriousCephalopod skrev:

Om p(x) är ett polynom som delas med ett annat polynom d(x) så är kvoten k(x) och resten r(x) tillsammans funktioner som tillfredsställer

p(x) = k(x)d(x) + r(x)

och där det centrala även är att r(x) är ett polynom av lägre grad än divisorpolynomet d(x). I detta fall är divisorpolynomet x + 2 ett polynom av grad 1 så resten är ett polynom av grad 0; dvs en konstant r(x) = C. 

$x^{100} + x^{67} - x^{32} - 2x^9 + 1 = k(x)(x + 2) + C$

Genom att betrakta denna form direkt kan man komma fram till ett trick för att ta fram C utan att behöva beräkna kvoten k(x).

Hur hade du gjort om $d\left(x\right)\ne 0$? Exempelvis om vi hade:

$\frac{x^{100}+x^{67}-x^{32}-2x^9+1}{x^2+2}$

Ebola skrev:

SeriousCephalopod skrev:

[...]

Hur hade du gjort om $d\left(x\right)\ne 0$? Exempelvis om vi hade:

$\frac{x^{100}+x^{67}-x^{32}-2x^9+1}{x^2+2}$

Att polynomet saknar reella nollställen är inte ett problem, samma resonemang ger villkor som gör det möjligt att bestämma resten även då nämnarens nollställen är komplexa, i detta fall $x=\pm\sqrt{2}i$.

Utmaningen jämfört med den tidigare uppgiften är snarare att vi har ett andragradsuttryck till nämnare vilket gör att vår rest nu är ett linjärt uttryck, $ax+b$. Vi får nu istället:
$x^{100}+x^{67}-x^{32}-2x^9+1=k(x)(x^2+2)+ax+b$

Insättning av $x=\sqrt{2}i$ ger:

$(\sqrt{2}i)^{100}+(\sqrt{2}i)^{67}-(\sqrt{2}i)^{32}-2(\sqrt{2}i)^9+1=k(x)\cdot0+a\cdot\sqrt{2}i+b$

$2^{50}-2^{33}\sqrt{2}i-2^{16}-2^5\sqrt{2}i+1=\sqrt{2}ai+b$

Likaställs nu real- och imaginärdelar erhålls:

$\sqrt{2}ai=-2^{33}\sqrt{2}i-2^5\sqrt{2}i\Rightarrow a=-2^{33}-2^5$

och

$b=2^{50}-2^{16}+1$

Resten $r(x)$ är alltså:

$r(x)=(-2^{33}-2^5)x+2^{50}-2^{16}+1$

Då algebrans fundamentalsats garanterar att alla polynom (med grad större än eller lika med ett) har minst ett komplext nollställe torde denna eller liknande metoder fungera för godtyckliga polynomkvoter $p(x)/d(x)$.

Om nämnaren skulle vara x^2 + x istället för (x+2)

Hur räknar man sig fram till resten då?

På samma sätt som med x²+2 ovan, men sätt in rötterna 0 och -1.