Finn planet mha avbildningen F

Börja med att skissa planet, det kan t.ex. symboliseras av ett horisontellt streck

Informationen $F(R)=R$ innebär att punkten $R$ ligger i planet (varför?). Markera en godtycklig punkt i planet på din skiss och märk punkten $R$

Markera också¨punkten P någonstans ovanför planet och dess spegling $P^\prime$ under planet.

Vad innebär vektorn $P-Q$ i din bild?

D4NIEL skrev:

Börja med att skissa planet, det kan t.ex. symboliseras av ett horisontellt streck

Informationen $F(R)=R$ innebär att punkten $R$ ligger i planet (varför?). Markera en godtycklig punkt i planet på din skiss och märk punkten $R$

Markera också¨punkten P någonstans ovanför planet och dess spegling $P^\prime$ under planet.

Vad innebär vektorn $P-Q$ i din bild?

Tack för svaret!

Jag kommer att gissa en del.

Skissat planet enligt nedan:

Jag antar att F(R)=R ligger i planet eftersom avbildninge som F gör av R landar just i planet, som R ligger i.

Jag antar desstuom att eftersom F är en avbildning av speglingen i planet så betyder det att Q är speglingen av P (vilket vi döpte till P')

Därför antar jag att P-Q är slutpunkt minus starpunkt, som ger oss en riktningsvektorn som är ortogonal till planet.

Rätta mig gjärna om jag blandat ihop det hela!

Tänkte bara på en liten följdfråga:

Står i facit att planet går igenom origo, hur vet de det?

Jag antar att de använder punkten origo i formeln för plan på normalform (a(X-X_0)+b(Y-Y_0)+c(Z-Z_0)), men hade man inte lika väl kunnat använda punkten R? Jag menar den ligger ju osså i planet.

Tack för hjälpen på förhand!

Ja, ditt resonemang stämmer, alltså blir vektorn $P-Q$ en normal till planet. Dock behöver ju inte punkten $R$ ligga precis mitt emellan $P$ och $Q$.

Vidare gäller för _alla_  punkter i planet (och en sådan punkt är $R$, vilket du konstaterat)

$R\cdot \mathbf{n}=d$  (Planets ekvation på normalform)

Där $d$ är en konstant (och samtidigt ett mått på hur "långt" från origo planet går). Om $d$ är noll går planet genom origo.

I vårt fall får vi alltså

$d=R\cdot\mathbf{n}=(2,-2,1)\cdot (1,-1,-4)=0$

Med värdet $d=0$ blir det sökta planets ekvation $x-y-4z=0$

Hade $d$ däremot haft ett annat värde t.ex. 3 hade ekvationen varit $x-y-4z=3$ och vi hade inte kunnat sätta in punkten $(0,0,0)$ eftersom $0-0-4\cdot 0 \neq 3$. Är du med?

D4NIEL skrev:

Ja, ditt resonemang stämmer, alltså blir vektorn $P-Q$ en normal till planet. Dock behöver ju inte punkten $R$ ligga precis mitt emellan $P$ och $Q$.

Vidare gäller för _alla_  punkter i planet (och en sådan punkt är $R$, vilket du konstaterat)

$R\cdot \mathbf{n}=d$  (Planets ekvation på normalform)

Där $d$ är en konstant (och samtidigt ett mått på hur "långt" från origo planet går). Om $d$ är noll går planet genom origo.

I vårt fall får vi alltså

$d=R\cdot\mathbf{n}=(2,-2,1)\cdot (1,-1,-4)=0$

Med värdet $d=0$ blir det sökta planets ekvation $x-y-4z=0$

Hade $d$ däremot haft ett annat värde t.ex. 3 hade ekvationen varit $x-y-4z=3$ och vi hade inte kunnat sätta in punkten $(0,0,0)$ eftersom $0-0-4\cdot 0 \neq 3$. Är du med?

Tack för hjälpen, nu förstår jag!

Min lösning: