Finn maclaurinutveckling av ordning 4

Jo en uppfriskande deriveringsövning på morgonen!

Jag vet inte om meningen med uppgiften är att man ska lära sig att vara noggrann, eller om det finns någon smart genväg.

När jag väl hade fått fram uttrycken blev det lätt att sätta in x = 0, eftersom e⁰ och cos (0) båda är = 1; sin (0) och alla x-termer försvinner.

Så jag landade i att f, f’’ och f^IV var = 1 för x = 0. 

Eftersom f är en jämn funktion är f’ = f’’’ = f^V alla 0 för x = 0

Jag får alltså f(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + ? * x⁶ /6!

Men problemet med resttermen kvarstår. Man är villig att satsa en halv flodhäst på att sjättederivatan också är 1 för x = 0, men vi vet inte. Och att utföra ytterligare två deriveringar är nog inte meningen, det blir för mycket jobb. Så här krävs en idé. Reservation för felräkningar.

Marilyn skrev:

Jo en uppfriskande deriveringsövning på morgonen!

 

Jag vet inte om meningen med uppgiften är att man ska lära sig att vara noggrann, eller om det finns någon smart genväg.

När jag väl hade fått fram uttrycken blev det lätt att sätta in x = 0, eftersom e⁰ och cos (0) båda är = 1; sin (0) och alla x-termer försvinner.

Så jag landade i att f, f’’ och f^IV var = 1 för x = 0. 

Eftersom f är en jämn funktion är f’ = f’’’ = f^V alla 0 för x = 0

Jag får alltså f(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + ? * x⁶ /6!

Men problemet med resttermen kvarstår. Man är villig att satsa en halv flodhäst på att sjättederivatan också är 1 för x = 0, men vi vet inte. Och att utföra ytterligare två deriveringar är nog inte meningen, det blir för mycket jobb. Så här krävs en idé. Reservation för felräkningar.

Nej asså jag vet ej heller. Hela denna uppgift är så förvirrande...Men du och jag verkar ej få samma sak.. var kommer x^6/6 ifrån? Jag trodde vi skulle hålla oss till ordning 4 men du verkar gå upp till ordning 6??

Jag räknade ganska snabbt, så jag kan ha gjort fel någonstans. Men mina resultat blev så snygga, så jag tänkte att de var rätt.

En Maclaurinutveckling ser ju ut så här:

f(x) = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴ + fx⁵ + gx⁶ +hx⁷ + … 

med konstanter a, b, c, …

i konstanten till termen av grad n ingår en faktor 1/n!.

Eftersom f(–x) = f(x) så är b = d = f = h = … = 0 (jämn funktion)

Om jag har räknat rätt är konstanterna a, c, e lika med 1/0!, 1/2! resp 1/4!

Då är det frestande att tro att g = 1/6! men vi vet inte. Där behöver vi tänka utanför boxen.

Att jag tar upp x⁶ är ju för att vi behöver en restterm. 

Marilyn skrev:

Jag räknade ganska snabbt, så jag kan ha gjort fel någonstans. Men mina resultat blev så snygga, så jag tänkte att de var rätt.

En Maclaurinutveckling ser ju ut så här:

f(x) = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴ + fx⁵ + gx⁶ +hx⁷ + … 

med konstanter a, b, c, …

i konstanten till termen av grad n ingår en faktor 1/n!.

Eftersom f(–x) = f(x) så är b = d = f = h = … = 0 (jämn funktion)

Om jag har räknat rätt är konstanterna a, c, e lika med 1/0!, 1/2! resp 1/4!

Då är det frestande att tro att g = 1/6! men vi vet inte. Där behöver vi tänka utanför boxen.

Okej så vi ska alltså ej multiplicera de här ihop?FAcit har ett svar men den där B^n(x) ingår också på slutet och jag förstår ej varför den är med.

Jo, såklart, då blir det ju mycket enklare. Att jag inte tänkte på det!

Men jag skulle ta med x⁶- termerna i båda parenteserna.

Dock behöver du inte multiplicera ihop längre än till grad 6.

Jag måste prova.

Marilyn skrev:

Jo, såklart, då blir det ju mycket enklare. Att jag inte tänkte på det!

Men jag skulle ta med x⁶- termerna i båda parenteserna.

Dock behöver du inte multiplicera ihop längre än till grad 6.

Jag måste prova.

Nu hänger jag ej med var x^6 kommer ifrån? Jag har ej fått den termen. Vad handlar det om? Vad betyder x^nB(x)??

Detta är vad jag får vid multiplikation av e^(x^2)*cos(x)

Du gör opraktiskt (men inte lika klumpigt som jag gjorde)

Vi vet redan att MLutv av cos är

cos x = 1 – x²/2 + x⁴/24 – x⁶/720 + …

och att 

e^t = 1+t+t²/2+t³/6+…

Det är kända utvecklingar som man bör minnas utan att behöva slå upp eller härleda.

Sätt t = x² så fås

e^{x^2} = 1 + x² + x⁴/2 + x⁶/6 +…

Multiplicera ihop, men gå inte längre än till x⁶

cos(x) e^{x^2} = 1 + x²(1–1/2) + x⁴(1/2–1/2+1/24) + x⁶(–1/720+1/48–1/48+1/6) +…

= 1 + 1 * x²/2! + 1* x⁴/4!  Ooops –(1/6)*x⁶/6! + …

Där fick jag plötsligt –1/6 där jag hade väntat en etta.

Men om jag har räknat rätt är det sökta polynomet

1+x²/2!+x⁴/4! + Restterm där resttermen är x⁶ B(x) med | B(x) | < 1/(6!*6) 

Fast kolla mina räkningar.

Marilyn skrev:

Du gör opraktiskt (men inte lika klumpigt som jag gjorde)

 

Vi vet redan att MLutv av cos är

cos x = 1 – x²/2 + x⁴/24 – x⁶/720 + …

och att 

e^t = 1+t+t²/2+t³/6+…

Det är kända utvecklingar som man bör minnas utan att behöva slå upp eller härleda.

Sätt t = x² så fås

e^{x^2} = 1 + x² + x⁴/2 + x⁶/6 +…

Multiplicera ihop, men gå inte längre än till x⁶

cos(x) e^{x^2} = 1 + x²(1–1/2) + x⁴(1/2–1/2+1/24) + x⁶(–1/720+1/48–1/48+1/6) +…

= 1 + 1 * x²/2! + 1* x⁴/4!  Ooops –(1/6)*x⁶/6! + …

Där fick jag plötsligt –1/6 där jag hade väntat en etta.

Men om jag har räknat rätt är det sökta polynomet

1+x²/2!+x⁴/4! + Restterm där resttermen är x⁶ B(x) med | B(x) | < 1/(6!*6) 

Fast kolla mina räkningar.

Jag fattar verkligen ingenting nu. Du gjorde det bara ännu mer förvirrande. Uppgiften säger tydligt att vi ska maclaurin utveckla vid fjärde ordningen och du går iväg till sjätte ordningen som du fortfarande ej kan förkara för mig varför.  Av någon okänd anledning substituerar du x^2 mot t och det säger du ej varför. Du pratar om restterm och om jag tolkar din text rätt så menar du den där B1n(x) som jag skrev i min bild.  Jag tänker ej komma ihåg en massa härledningar förrän jag fått svar på mina frågor.

Såhär får jag

Om jag bara skapar förvirring är det klokast att jag lägger ned.

Marilyn skrev:

Om jag bara skapar förvirring är det klokast att jag lägger ned.

Okej