Absolutbelopp - finn maximum/minimum.

$|x^2-1|=\left|\right(x+1\left)\right(x-1) |$

Var har vi nollställen? Och hur tror du grafen ser ut mellan dessa? Tänk dig att grafen ser ut som $x^2-1$

men alla negativa y-värden blir positva.

Börja med att för hand skissa grafen till $y=|x^2-1|$ i det angivna intervallet.

Du kan då använda tipset du fick i det här svaret.

Visa din skiss. Med hjälp av den blir det enklare att besvara frågan.

$\left|x\right|$ definieras normalt som

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, om x\ge 0\\ -x, om x<0\end{array}\right.$

Alternativt (och helt ekvivalent) kan $\left|x\right|$ definieras som

$\left|x\right|=max(x, -x)$.

Således kan vi skriva $\left|x^2-1\right|=max(x^2-1, 1-x^2)$.

Om vi skissar kurvorna y = x² - 1 och y = 1 - x² i ett x-y-diagram så kan vi enkelt inse utseendet på kurvan y = $\left|x^2-1\right|$ genom att titta på vilken av de två första kurvorna som ligger överst för varje val av x. Detta illustreras nedan.

@Yngve

@ Paten. Ja förstår vad du menar men hur kan hitta dessa extrempkt. med det som du har skrivit? 

Marcus N skrev:

Bra!

Fråga: Hade du klarat det utan att se PATENTERAMERAs inlägg?

En kommentar - du skriver under skissen att $x^2-1=-(x^2-1)$ men det gäller endast för $x=\pm1$.

==============

Nästa steg är att markera intervallgränserna. Du är endast intresserad av uttryckets värde då $-3/2\leq x\leq2$.

Rita därför linjerna $x=-3/2$ och $x=2$.

Det intressanta området är den del av grafen som ligger på och mellan dessa linjer.

Då är det lätt att se uttryckets minsta/största värde och lokala min/max.

Ja plottat dem så här :

Någon ??

Ja det ser bra ut.

Kan du nu, med hjälp av skissen, se var du hittar uttryckets minsta respektive största värde?

(Och det som står under skissen är fortfarande inte giltigt för alla x.)

Det som ja skriver är bara ett kommentar som skulle hjälpa mig veta var någonstans x^2+1 och -(x^2+1) skär varandra. Så ja kan skissa grafen. 

OK bra. Se bara till att du förtydligar med den förklaringen om du skriver ekvationen $x^2-1=-(x^2-1)$ i en lösning på ett prov eller inlämningsuppgift. Annars riskerar du poängavdrag.

Och lös gärna även ekvationen så att det framgår att du därur får fram skärningspunkterna.

Om ni fråga mig det skulle ja säger det finns ingen största eller minsta värde i f(x) = abs(x^2+1) men inom intervall {-3/2<x<2} 

är den lokalt minsta värde kanske är när x= -1 eller när x=1? Och den lokalt maximun är kanske den pkt som har koordinater (0,1) eller den högsta punkten där som skär linje x=2. 

Marcus N skrev:

Om ni fråga mig det skulle ja säger det finns ingen största eller minsta värde i f(x) = abs(x^2+1) men inom intervall {-3/2<x<2} 

Tänk på att ändpunkterna ingår i intervallet i den här uppgiften. Det står nämligen $-3/2\leq x\leq2$, inte $-3/2<x<2$.

är den lokalt minsta värde kanske är när x= -1 eller när x=1? Och den lokalt maximun är kanske den pkt som har koordinater (0,1) eller den högsta punkten där som skär linje x=2. 

Det stämmer att det finns två lokala minvärden. Båda är 0 och de återfinns i punkterna (-1, 0) och (1, 0).

Det stämmer att ett lokalt maxvärde finns vid punkten (0, 1). Detta maxvärde är 1.

Men det finns två lokala maxvärden till. De återfinns vid intervallets ändpunkter, eftersom dessa ingår i intervallet, se ovan.

Här är det viktigt att veta vad som särskiljer lokala och globala max-/minvärden. Har du koll på det?

Om du har det så kan du nog även peka ut eventuella globala max-/minvärden, dvs uttryckets största och minsta värden. 

Alltså globalt största/min värdena är den allra största och minsta värdena genom (througout) hela grafen. 

Marcus, det är inte tillåtet att vympa son tråd inom 24 timmar./Moderator 

Okej. 👌 

Men ja vet inte vad eventuella globala max-/minvärden är? 

Finns det en högsta och/eller en lägsta punkt på grafen? I så fall, vilken/vilka är de?

SÅ det finns två lokala minvärden och dem är (-1, 0) och (1, 0). 

Det finns ett lokalt maxvärde som är (0, 1). 

Det finns två lokala maxvärden för att två ändpunkterna där x är -3/2 resp. 2 är ingår i intervallet. {-3/2<=x<=2}

När vi plotta grafen utan att begränsa intervallet då kommer grafen se ut så här:

Det lägsta pkt som ja läsa på grafen är bara (-1, 0) och (1, 0), men någon globalt maxvärde se ja inte. 

Marcus N skrev:

SÅ det finns två lokala minvärden och dem är (-1, 0) och (1, 0). 

Ja, men båda minvärdena är 0. Ett minvärde är nämligen bara y-koordinaten. Om du även anger x-koordinaterna så pekar du ut de båda minpunkterna.

Ser du skillnaden på värde och punkt?

Det finns ett lokalt maxvärde som är (0, 1). 

Samma här, det finns en lokal maxpunkt som är (0, 1). Det lokala maxvärdet är 1.

Det finns två lokala maxvärden för att två ändpunkterna där x är -3/2 resp. 2 är ingår i intervallet. {-3/2<=x<=2}

Ja det stämmer. Vilka är dessa lokala maxvärden?

När vi plotta grafen utan att begränsa intervallet då kommer grafen se ut så här:

Ja, men du ska inte plotta utan intervallbegränsning, du ska ta reda på funktionens största och minsta värde i intervallet.

Har grafen någon högsta punkt då $-3/2\leq x\leq2$?

• Om nej, varför inte?
• Om ja, var finns den?

Den lokalt minsta punkterna för funktion abs(x^2-1) {-3/2<=x<=2} som ja har hittat på bilden är (-1, 0) och (1, 0). Den lokalt max punkterna är (0, 1) och (2, 3). 

Marcus N skrev:

 

Den lokalt minsta punkterna för funktion abs(x^2-1) {-3/2<=x<=2} som ja har hittat på bilden är (-1, 0) och (1, 0).

Rätt. Bra!

Den lokalt max punkterna är (0, 1) och (2, 3). 

Ja, men det finns ytterligare en lokal maxpunkt, nämligen vid x = -3/2.

=======

Och hur är det med minsta/största värden, dvs globala min-/maxpunkter, hittar du några sådana?

Som du precis ha sagt i den andra tråden. Där dem globala min-punkterna är (-1, 0) och (1, 0) för att det finns ingen andra punkter som är lägre än dem två. Men globalt max punkterna hittat ja inte. 

Så även punkten (-3/2, 1.25) är en lokalt max till funktionen, eller? 

Marcus N skrev:

Så även punkten (-3/2, 1.25) är en lokalt max till funktionen, eller? 

Ja, eftersom det inte finns något större värde i den närliggande omgivningen till den punkten.

Enligt den beskrivning av begreppet jag gav dig tidigare så är det alltså ett lokalt maxvärde.

Marcus N skrev:

Som du precis ha sagt i den andra tråden. Där dem globala min-punkterna är (-1, 0) och (1, 0) för att det finns ingen andra punkter som är lägre än dem två.

Ja, det stämmer. Vad är då uttryckets minsta värde, dvs det globala minvärdet?

Men globalt max punkterna hittat ja inte. 

Du har tre lokala maxvärden.

1. Vilket av dessa är.störst?
2. Hittar du något annat värde som är större än det?

Dem tre lokala max punkterna som man kan se direkt från grafen är: (0, 1) maxvärde: 1;  (-3/2, 1.25) maxvärde: 1.25;

(2, 3) maxvärde: 3 

Den största pkt. av dem tre är (2, 3). Men när man tar bort begränsningar$-3/2\le x\le 2$

då kommer grafen ser ut så här_:

Enligt definitionen (för globalt maxpkt.) hittar ja inte den största punkten som är högre än alla andra punkterna. 

Så tror ja att uppgiften saknar största punkter och leds till att det kommer saknar största värdet. 

Marcus N skrev:

Dem tre lokala max punkterna som man kan se direkt från grafen är: (0, 1) maxvärde: 1;  (-3/2, 1.25) maxvärde: 1.25;

(2, 3) maxvärde: 3 

Den största pkt. av dem tre är (2, 3).

Ja det stämmer.

Men när man tar bort begränsningar$-3/2\le x\le 2$

då kommer grafen ser ut så här_:

Men varför envisas du med att ta bort begränsningarna?

Som jag skrev i det här svaret så ska du inte göra det.

Du ska söka efter uttryckets minsta och största värde i det aktuella intervallet.

Det "globala" är intervallet 

Vad som händer utanför intervallet är helt ointressant i den här uppgiften.

Nej men, nu blir ja förvirrad igen, ja tror globala betyder hela grafen samma som man när man säger globala problem är problem för hela jorden. 

Så den globala största punkten borde blir den allra största (eller högsta) punkten som man kan hittar på grafen. 

Samt den globala minsta punkten är den lägsta punkten som man har på grafen. 

I vårt fall den globala minsta pkt är samma som dem lokala minsta pkt. som är (-1, 0) och (1, 0)

Och dem globala största pkt existerar ej, medan dem lokala största pkt. är (0, 1) och (-3/2, 1.25) och (2, 3). 

Marcus N skrev:

I vårt fall den globala minsta pkt är samma som dem lokala minsta pkt. som är (-1, 0) och (1, 0)

Och dem globala största pkt existerar ej, medan dem lokala största pkt. är (0, 1) och (-3/2, 1.25) och (2, 3). 

Första raden ser rätt ut.

Det finns ett lokalt max i (0, 1) och även i (-3/2, 1.25) och (2, 3). Men är inte 3 det största funktionsvärdet i hela intervallet? Notera att x = 2 ingår i intervallet.

Ja, men punkten (2, 3) är inte den största punkten i hela grafen. 

Oh, nu ja vad det som är fel, ja har glömt bort att x måste vara begränsat i uppgiften. 

Så grafen till denna uppgiften kan bara ser ut så här:

Och kan aldrig ser ut som där:

Eller hur? 

Det stämmer.

Om du läser mina svar igen så ser du att jag har skrivit det flera gånger, att du endast ska leta i det angivna intervallet.

Marcus N skrev:

Ja, men punkten (2, 3) är inte den största punkten i hela grafen. 

Nej, inte om man ser funktionen som definierad på hela reella axeln. Men i detta problem så skall vi bara beakta vad som gäller i det angivna intervallet, och då är 3 det största värdet i det angivna intervallet, så det bör man nog ha med i sitt svar.

Tack då förstå ja.