Finn felet i en beräkning av integral.

Hej!

Satt nyligen och filosoferade över lite komplex analys och fick idén till följande problem:

Säg att vi har integralen:

$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{x^2}\ dx$

För att kunna få fram ett värde på detta skulle det vara mycket trevligt om vi istället hade $-t^2$ istället för $x^2$ , för då kan vi använda oss av den välkända Gaussintegralen. Säg då att vi inför ett variabelbyte sådant att:

$x^2=-t^2$

Drar vi roten ur båda sidor får vi:

$x=it$

och då blir differentialerna:

$dx=i\ dt$

Gränserna i vår integral blir:

$x=0\Rightarrow t=i\cdot0=0$

$x=\infty\Rightarrow t=i\cdot\infty=\infty$

och alltså får vi:

$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{x^2}\ dx=i\int_0^{\infty}e^{-t^2}\ dt=i\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

Det tar inte lång tid att inse att detta svar är orimligt. För det första borde integralen inte konvergera eftersom $e^{x^2}\to\infty$ när $x\to\infty$ och för det andra borde resultatet inte bli imaginärt då integranden endast är reellvärd.

Min fråga är då: Vad är fel i ovanstående uträkning? Varför kommer man fram till ett nonsensresultat med en till synes vanlig tillämpning av integreringsmetoderna?

Din avbildning x=it avbildar från $x \in R$ till $t \in C$ . Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.

Trinity skrev:
Din avbildning x=it avbildar från $x \in R$ till $t \in C$ . Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.

Ja, det är rätt, men om du preciserar dig lite mer, varför är det så? Det går ju att göra ett variabelbyte $x=3t$ , varför blir det då pannkaka om man gör det med $x=it$ ?

AlvinB skrev:
Trinity skrev:
Din avbildning x=it avbildar från $x \in R$ till $t \in C$ . Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.
Ja, det är rätt, men om du preciserar dig lite mer, varför är det så? Det går ju att göra ett variabelbyte $x = 3 t$ , varför blir det då pannkaka om man gör det med $x = i t$ ?

Det går att göra ditt variabelbyte, det är inga problem, men gör om dina räkningar med ett ändligt interval, säg [0,u]. Efter din transformation har du intervallet [0,u/i]. I Riemannsumman är då en typisk term exp(-(u/i)^2)=exp(u^2) och när u går mot oändligheten går termerna mot oändligheten. Man kan säga att "dämpningen" av minustecknet i Gauss-funktionen motverkas av i^2=-1 och det blir en växande funktion istället för en avtagande. Integranden har alltså inget släktskap med Gauss-kurvan och därmed inte dess integral.

Just det!

Felet i min uträkning är alltså när jag gör det komplexa variabelbytet. På den reella tallinjen finns det bara ett sätt att gå från en punkt till en annan (eller mot oändligheten) men i det komplexa talplanet kan man gå alla möjliga vägar mot oändligheten. Den övre gränsen kan alltså inte bara beskrivas som "oändligheten" utan man måste även beskriva vägen vi går mot oändligheten. I vårt fall blir det längs linjen $\text{Re}(z)=\text{Im}(z)$ , och detta gör att integralen inte längre konvergerar (om man går längs den reella tallinjen gör minustecknet att integralen konvergerar, men inte med vår linje).

Svara

Visa senaste svar