Finn detta väntevärde.

20 % av medlemmarna skickar inga pengar. Det betyder att 200 av de tusen utskicken ger 0 kr. Lika många kommer att skänka 50 kr som hundra kr - 400 av varje (ungefär). 400 personer kommer att skicka 40 000 kr (100 kr var) och 400 personer kommer att skänka 20 000 kr totalt (50 kr var). Väntevärdet är 60 000 kr, vilket det räcker med Ma1 för att räkna ut. (Att beräkna sannolikheten för att det blir mer än 58 000 kr är däremot på universitetsnivå.)

Jaha ...approximation, den kan ju vara mer eller mindre välmotiverad.

58kkr är bra nära 60kkr, då drar jag té med lite drygt 50% sannolikhet att insamlingen överstiger 58kkr :-)

Affe Jkpg skrev:

Jaha ...approximation, den kan ju vara mer eller mindre välmotiverad.

58kkr är bra nära 60kkr, då drar jag té med lite drygt 50% sannolikhet att insamlingen överstiger 58kkr :-)

 Haha va?

Vi har kommit fram till att väntevärdet är 60 000 kr. Vilken är standardavvikelsen?

Smaragdalena skrev:

Vi har kommit fram till att väntevärdet är 60 000 kr. Vilken är standardavvikelsen?

 Bra mycket mer än 2kkr :-)

Du vet hur många av de 1000 breven som förväntas inbringa 0 kr, 500 kr respektive 1000 kr. Du vet väntevärdet. Hur gör du för att beräkna standardavvikelsen?

Smaragdalena skrev:

Du vet hur många av de 1000 breven som förväntas inbringa 0 kr, 500 kr respektive 1000 kr. Du vet väntevärdet. Hur gör du för att beräkna standardavvikelsen?

 Kom inte mitt inlägg med? Eller har någon raderat den, hehe. 

$V(X) = E(X^2)-E(X)^2$ och roten ur. så något i stil med:

$0kr \cdot E(X) + 500kr \cdot E(X) + 1000kr \cdot E(X)$ (=

Vilken är standardavvikelsen?

Du har inte räknat färdigt.

Smaragdalena skrev:

Vilken är standardavvikelsen?

Du har inte räknat färdigt.

 Nää men roten ur det sedan.

Det är du som skall räkna, inte jag. För tredje gången: Vilket värde har standardavvikelsen?

Smaragdalena skrev:

Det är du som skall räkna, inte jag. För tredje gången: Vilket värde har standardavvikelsen?

 Men jag är inte intresserad av rätt svar. Jag vill bara veta hur man gör. (kanske skulle skrivit det i uppgiften)

mrlill_ludde skrev:

Smaragdalena skrev:

Det är du som skall räkna, inte jag. För tredje gången: Vilket värde har standardavvikelsen?

 Men jag är inte intresserad av rätt svar. Jag vill bara veta hur man gör. (kanske skulle skrivit det i uppgiften)

 Du behöver ta fram standardavvikelsen för att kunna beräkna hur många standardavvikelser det är från väntevärdet till 58 000. 

Har ni läst sista meningen i uppgiften?

Affe Jkpg skrev:

Har ni läst sista meningen i uppgiften?

 Ja. Frågan är hur bra man vill göra uppskattningen. Vill man göra en bättre uppskattning än din, behöver man veta standardavvikelsen.

Smaragdalena skrev:

Affe Jkpg skrev:

Har ni läst sista meningen i uppgiften?

 Ja. Frågan är hur bra man vill göra uppskattningen. Vill man göra en bättre uppskattning än din, behöver man veta standardavvikelsen.

Bara för att jag inledningsvis gjort en extremt kortfattad motiverad approximation, hindrar det väl inte att man söker en approximation som är mer välmotiverad.

Vi gör en tabell :-)

$\begin{array}{cccccc}& 0& 50& 100& Insamlat& S\tan dardavvikelse\\ & SEK& SEK& SEK& kSEK& \sigma \\ Antal& 200& 400& 400& 60& {\sigma }_1\\ Antal& 0& 500& 500& 75& {\sigma }_2\\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

${\sigma }_1>{\sigma }_2=25kSEK$

Affe Jkpg skrev:

Vi gör en tabell :-)

$\begin{array}{cccccc}& 0& 50& 100& Insamlat& S\tan dardavvikelse\\ & SEK& SEK& SEK& kSEK& \sigma \\ Antal& 200& 400& 400& 60& {\sigma }_1\\ Antal& 0& 500& 500& 75& {\sigma }_2\\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

${\sigma }_1>{\sigma }_2=25kSEK$

Du visar två exempel på utfall för summavariabeln och beräknar standardavvikelsen för de enskilda utfallen, men standardavvikelsen för den fördelning som summavariabeln har är en annan sak.

Hur gick det med det här? 

TS vill finna väntevärdet av "det här" utan att tala om vad "det här" är. Sedan handlar den citerade texten inte ens om att finna väntevärde, utan om att beräkna en sannolikhet. 

Hej!

En enskild föreningsmedlem lämnar $X$ kronor i bidrag, där slumpvariabeln $X$ kan anta tre möjliga värden: 0 kr, 50 kr, 100 kr. Slumpvariabelns sannolikhetsfördelning är $P(X=0) = 0.20$, $P(X = 50) = 0.4$ och $P(X = 100) = 0.4$.

Tillsammans bidrar föreningens $1000$ medlemmar med $S_{1000} = X_1 + X_2 + \cdots + X_{1000}$ kronor, där varje term har ovanstående sannolikhetsfördelning. Du ska beräkna sannolikheten

    $P(S_{1000} > 58000 ).$

Det gäller därför att bestämma sannolikhetsfördelningen för summan $S_{1000}$. Känner du till något resultat inom sannolikhetsteori som handlar om sannolikhetsfördelning för en summa av ett stort antal slumpvariabler?

Enligt Centrala gränsvärdessatsen är föreningens bidrag ungefär normalfördelat med väntevärde $\mu = 1000 \cdot E(X)$ och varians $\sigma^2 = 1000 \cdot Var(X)$; detta gäller om varje medlem lämnar ett bidrag som är oberoende av vad andra lämnar. 

Då blir den sökta sannolikheten ungefär

    $1-\Phi(\frac{58-E(X)}{\sqrt{Var(X)/1000}})$

där $\Phi$ betecknar fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen.

Varje medlem bidrar i genomsnitt med $E(X) = 60$ kronor med en spridning lika med $\sqrt{Var(X)} = \sqrt{1400}$ kronor, så det är mycket troligt att föreningen kommer att kunna samla in åtminstone 58 tusen kronor;  sannolikheten är ungefär 0.96.

Albiki skrev:

Varje medlem bidrar i genomsnitt med $E(X) = 60$ kronor med en spridning lika med $\sqrt{Var(X)} = \sqrt{1400}$ kronor, så det är mycket troligt att föreningen kommer att kunna samla in åtminstone 58 tusen kronor;  sannolikheten är ungefär 0.96.

Nu tycks du ha beräknat ett-sigma för varje medlem. I så fall får jag spridningen för summan av 1000 medlemmar som :

$\sqrt{1000 (\sqrt{1400}{)}^2}=\sqrt{1.4*{10}^6}\approx 12000$

Affe Jkpg skrev:

Albiki skrev:

Varje medlem bidrar i genomsnitt med $E(X) = 60$ kronor med en spridning lika med $\sqrt{Var(X)} = \sqrt{1400}$ kronor, så det är mycket troligt att föreningen kommer att kunna samla in åtminstone 58 tusen kronor;  sannolikheten är ungefär 0.96.

Nu tycks du ha beräknat ett-sigma för varje medlem. I så fall får jag spridningen för summan av 1000 medlemmar som :

$\sqrt{1000 (\sqrt{1400}{)}^2}=\sqrt{1.4*{10}^6}\approx 12000$

 Ja, det stämmer. Tycker du att det är fel att beräkna spridningen för hela föreningens bidrag?

Albiki skrev:

Affe Jkpg skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Varje medlem bidrar i genomsnitt med $E(X) = 60$ kronor med en spridning lika med $\sqrt{Var(X)} = \sqrt{1400}$ kronor, så det är mycket troligt att föreningen kommer att kunna samla in åtminstone 58 tusen kronor;  sannolikheten är ungefär 0.96.

Nu tycks du ha beräknat ett-sigma för varje medlem. I så fall får jag spridningen för summan av 1000 medlemmar som :

$\sqrt{1000 (\sqrt{1400}{)}^2}=\sqrt{1.4*{10}^6}\approx 12000$

 Ja, det stämmer. Tycker du att det är fel att beräkna spridningen för hela föreningens bidrag?

 Jag förstod inte ditt svar (0.96) på uppgiften.

Affe Jkpg skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

[...]

 Ja, det stämmer. Tycker du att det är fel att beräkna spridningen för hela föreningens bidrag?

 Jag förstod inte ditt svar (0.96) på uppgiften.

 Talet 0.96 är ungefär lika med sannolikheten att föreningen lyckas samla in åtminstone 58 tusen kronor. 

Halvkorrektion?

Trinity skrev:

Halvkorrektion?

 Om man vill förbättra approximationen så ja, varför inte. Men det kanske räcker utan korrektion med tanke på att föreningen har 1000 medlemmar. 

Jag är inne på hur Trinity tycks tänka. Sannolikheten att samla in åtminstone 60 tusen kronor är väl 0.5?

Affe Jkpg skrev:

Jag är inne på hur Trinity tycks tänka. Sannolikheten att samla in åtminstone 60 tusen kronor är väl 0.5?

 Trinity är inne på att vi approximerar en diskret sannolikhetsfördelning med en kontinuerlig sannolikhetsfördelning och att konvergenshastigheten hos centrala gränsvärdessatsen kanske är så långsam att en halvkorrektion kan vara motiverad; men med tanke på att sannolikhetsfördelningen för X är symmetrisk så ska det nog gå bra utan halvkorrektion. 

Det stämmer att sannolikheten är 0.5 att samla in 60 tusen kronor; då bör sannolikheten att samla in åtminstone 58 tusen kronor vara större än 0.5, eller hur?

Albiki skrev:

Trinity skrev:

Halvkorrektion?

 Om man vill förbättra approximationen så ja, varför inte. Men det kanske räcker utan korrektion med tanke på att föreningen har 1000 medlemmar. 

En fullkomligt ovetenskaplig undersökning av ett fåtal dokument från universitet och högskolor 'online' visar inte på något entydig gräns när halvkorrektion skall tillämpas. Det är nog av mera akademiskt intresse än praktiskt i denna uppgift, men så var det en annan uppgift här på PA där det noterades 'fel' då tillväxtprocenten skiljde sig på 0.1. Kontenta: Upp till läsaren, troligtvis.

Edit: Beräknade slh, 1/2-korr påverkar inga direkt signifikanta siffror. Mer akademisk natur alltså.

Albiki skrev:

Affe Jkpg skrev:

Jag är inne på hur Trinity tycks tänka. Sannolikheten att samla in åtminstone 60 tusen kronor är väl 0.5?

 Trinity är inne på att vi approximerar en diskret sannolikhetsfördelning med en kontinuerlig sannolikhetsfördelning och att konvergenshastigheten hos centrala gränsvärdessatsen kanske är så långsam att en halvkorrektion kan vara motiverad; men med tanke på att sannolikhetsfördelningen för X är symmetrisk så ska det nog gå bra utan halvkorrektion. 

Det stämmer att sannolikheten är 0.5 att samla in 60 tusen kronor; då bör sannolikheten att samla in åtminstone 58 tusen kronor vara större än 0.5, eller hur?

 Jo, men jag tänker att vi "befinner oss" inom 2/12 av ett-sigma. För tabellslagning använder jag då:

$0.5+\frac{2}{12}=\frac{2}{3}$

Åsså slår jag i en tabell som t.ex. 

http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/tabeller/tabeller.pdf

å får då ett svar med en sannolikhet på runt 75% att nå åtminstone 58 tusen i sammanlagd summa i insamlingen.

Affe Jkpg skrev:

Albiki skrev:

Varje medlem bidrar i genomsnitt med $E(X) = 60$ kronor med en spridning lika med $\sqrt{Var(X)} = \sqrt{1400}$ kronor, så det är mycket troligt att föreningen kommer att kunna samla in åtminstone 58 tusen kronor;  sannolikheten är ungefär 0.96.

Nu tycks du ha beräknat ett-sigma för varje medlem. I så fall får jag spridningen för summan av 1000 medlemmar som :

$\sqrt{1000 (\sqrt{1400}{)}^2}=\sqrt{1.4*{10}^6}\approx 12000$

 Nu ser jag :-)

$$\begin{gathered} \sqrt{1000 (\sqrt{1400}{)}^2}=\sqrt{1.4*{10}^6}\approx 1200 \\ 0.5+\frac{2}{1.2}=2\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Om 0.5 avser halvkorrektionen sker den i täljaren och får minimal inverkan i denna uppgift.