Finn bas så att matris blir diagonaliserbar
Hej!
Här är uppgiften: Låt P2 beteckna rummet av polynom av grad högst 2. Låt T: P2 -> P2 vara given av T(p(x))=p(0)+(x+x2)p(1). Finn en bas för P2 så att matrisen [T]β för T med avseende på basen β är en diagonalmatris.
Jag vet att en linjär operator T är diagonaliserbar om det existerar en bas som består av egenvektorer till T. [T]β ska alltså vara en diagonalmatris med egenvärdena på huvuddiagonalen. Jag fattar dock inte riktigt hur jag ska hitta egenvektorerna.. Utgå från en bas a+bx+cx2 och se hur T verkar på den? Jag har dock svårt att fatta hur p(0) och p(1) skulle se ut med den basen. Tacksam för tips!
p(x) = 1. T(p(x)) = p(0) + (x+x2)p(1) = 1 + (x+x2)1 = 1 + x + x2.
p(x) = x. T(p(x)) = p(0) + (x+x2)p(1) = 0 + (x+x2)1 = x + x2.
p(x) = x2. T(p(x)) = … .
Tillägg: 25 nov 2024 12:39
Tips: ta fram matrisen relativt standardbasen. Lös egenvärdesproblemet mha denna matris.
Tack för tipsen. Jag får fram matrisen mha standardbasen och får det karakteristiska polynomet (1-t)^3-(1-t)=0. Ur den hittar jag bara två egenvektorer, 0 och 2. Eller kan man säga att 2 är en dubbelrot?
Det ser ut som t = 1 skall vara en lösning också.
Det har du rätt i.
