Finn alla lösningar, på en specifik form, till partiell differentialekvation av ordning 2

Uppgift: Finn alla lösningar av formen $f (x, y) = g (x^{2} - y)$

till ekvationen $2 f' y + f'' x x + x \cdot f'' x y = 0$ , $x > 0$ .

Det finns ett lösningsförslag i boken som jag försöker förstå. Där börjar man med att använda kedjeregeln för att skriva om derivatorna. Med jag fastnar lite där.

Jag förstår att $f' x = g' (x^{2} - y) \cdot 2 x$ . Här tror jag man använt kedjeregeln för funktioner av en variabel eftersom

att g är en funktion av en variabel.

Med sedan är tydligen $f'' x x = g'' (x^{2} - y) \cdot 4 x^{2} + g' (x^{2} - y) \cdot 2$ .

Jag kommer så långt att jag skriver $f'' x x = (g' (x^{2} - y))' x$ för att enklare se vilken formel som ska användas men jag fastnar där. Här vill man derivera en sammansatt funktion av en variabel g'(x) igen med avseende på x. Då tänker jag att att samma formel för kedjeregel kan användas. Borde det blir någonting sånt här: $f'' x x = g'' (x^{2} - y) \cdot g' (x^{2} - y)$

eller tänker jag helt fel?

Du behöver använda både kedjeregeln och produktregeln för att beräkna andraderivatan. Förstaderivatan är ju en derivata m a p variabeln x²-y multiplicerad med 2x.

Smaragdalena skrev:
Du behöver använda både kedjeregeln och produktregeln för att beräkna andraderivatan. Förstaderivatan är ju en derivata m a p variabeln x²-y multiplicerad med 2x.

Juste!

Är det korrekt att skriva $f'' x x = (g' (x^{2} - y) \cdot 2 x)' x$ ?

För då tänker jag att det är en derivata av en produkt om enligt produktregeln för derivata blir

$f'' x x = g'' (x^{2} - y) \cdot 2 x + g' (x^{2} - y) \cdot 2$

men enligt facit så ska det vara

$f'' x x = g'' (x^{2} - y) \cdot 4 x^{2} + g' (x^{2} - y) \cdot 2$

Hur ser produktregeln ut? Tänk på att du behöver använda kedjeregeln en gång till när du deriverar förstaderivatan.

Smaragdalena skrev:
Hur ser produktregeln ut? Tänk på att du behöver använda kedjeregeln en gång till när du deriverar förstaderivatan.

Okej tack! Nu tror jag att jag förstår vad jag missar..

Produktregeln för derivata (i endim) är ju: om $f (x) = g (x) \cdot h (x)$ så är

$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$ .

Jag har

$(g' (x^{2} - y) \cdot 2 x)' x = (g' (x^{2} - y))' x \cdot 2 x + g' (x^{2} - y) \cdot 2 = = g'' (x^{2} - y) \cdot 2 x \cdot 2 x + g' (x^{2} - y) \cdot 2$

Stämmer detta?

Stämmer detta?

Jag kan inte tyda ditt okonventionella notationssätt, så jag har faktiskt ingen aning. Använd skrivsättet $\frac{dy}{dx}$ i stället för att sätta en "fnutt" här och en där!

Eller rättare sagt: Din sista rad ser nästan rätt ut (du skall ha med ett x i sista termen enligt produktregeln), den ovanför begriper jag inte.

Smaragdalena skrev:
Stämmer detta?
Jag kan inte tyda ditt okonventionella notationssätt, så jag har faktiskt ingen aning. Använd skrivsättet $\frac{dy}{dx}$ i stället för att sätta en "fnutt" här och en där!
Eller rättare sagt: Din sista rad ser nästan rätt ut (du skall ha med ett x i sista termen enligt produktregeln), den ovanför begriper jag inte.

Okej jag förstår, min kursbok använder sin ibland av fnuttar och ibland av den mer konventionella skrivsättet, det gör mig också förvirrad. Men det var samma svar som i kursboken. tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar