Find the value of (k) (Matematik/Matte 2/Logik och geometri)

Natascha skrev:
Hej PA!
Jag kommer med en uppgift här som jag inte vet riktigt hur jag ska angripa. Ska jag först försöka ta fram något värde för x respektive y?

En cirkel med medelpunkt i $(x_0,y_0)$ och radie $r$ uppfyller ekvationen $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ . Kan du göra något av det?

Jag förstod inte riktigt Yngve. Är detta någon regel som finns för att ta lösa sådana problem? Jag kopplade som sagt inte riktigt Yngve. Jag ställer mig även frågan: Hur skulle jag komma på ekvationen som du angav ovan? 😞

En cirkel är en samling punkter (x,y) som ligger på ett visst avstånd (radien) från cirkelns medelpunkt, (x0,y0).

Avståndet i kvadrat från (x0,y0) till (x,y) är

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2$

vilket "bara" är Pythagoras sats.

Detta avstånd i kvadrat är samma sak som cirkelns radie i kvadrat,

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2=R^2$

Verkar det rimligt?

Tack för ditt förtydligande Dr. G. Är de meningen att jag ska ersätta x och y i den ekvationen som ska ses som Phytagoras Sats? Det är där jag blir lite kluven..

Du behöver kvadratkomplettera

$x^2+4x = (x - a)^2 + b$

$y^2-6y = (y - c)^2 + d$

så ser du kanske att ekvationen är av den typ som Yngve postade. Du ska inte sätta in några specifika värden på x och y.

Natascha skrev:
Tack för ditt förtydligande Dr. G. Är de meningen att jag ska ersätta x och y i den ekvationen som ska ses som Phytagoras Sats? Det är där jag blir lite kluven..

Alla punkter på cirkeln uppfyller sambandet $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ .

Alla punkter på cirkeln uppfyller även det i uppgiften givna sambandet $x^2+y^2+4x-6x+k=0$ .

Det betyder att dessa båda samband måste säga samma sak, dvs de måste vara identiska.

Om du nu skriver om det första sambandet så att det står på samma form som det andra sambandet så ser du hur konstanterna $x_0$ , $y_0$ , $r$ , $4$ , $-6$ och $k$ förhåller sig till varandra.

Utveckla först kvadraterna i det första sambandet:

$x^2-2x_0x+{x_0}^2+y^2-2y_0y+{y_0}^2=r^2$

Samla sedan ihop termerna så att detta samband ser ut som det andra sambandet:

$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+({x_0}^2+{y_0}^2-r^2)=0$

Jänför nu detta med i uppgiften givna sambandet:

$x^2+y^2+4x-6x+k=0$

Eftersom båda dessa samband är identiska så måste det gälla att

Koefficienterna framför x-termen är identiska, dvs $-2x_0=4$
Koefficienterna framför y-termen är identiska, dvs $-2y_0=-6$
Konstanttermerna är identiska, dvs ${x_0}^2+{y_0}^2-r^2=k$

Kommer du vidare då?

Jag känner att jag inte hänger med Yngve. Jag förstår verkligen inte hur jag ska ta hjälp av din senaste kommentar. Jag får inte fram någon metod alls för att ta mig framåt.. Kvadratkomplettering har inte varit det enklaste för mig heller men jag förstår heller inte HUR jag ska kvadratkomplettera x^2 + 4x. 😞

Natascha skrev:
Jag känner att jag inte hänger med Yngve. Jag förstår verkligen inte hur jag ska ta hjälp av din senaste kommentar. Jag får inte fram någon metod alls för att ta mig framåt.. Kvadratkomplettering har inte varit det enklaste för mig heller men jag förstår heller inte HUR jag ska kvadratkomplettera x^2 + 4x. 😞

Jag tycker att Yngve beskrev precis hur man kan göra. Var tar det stopp?

Jag har lyckats skriva det första sambandet som Yngve publicerade i sin senaste kommentar så att det ser ut som andra sambandet. Jag har utvecklat kvadraterna med hjälp av kvadreringsregler. Nu när jag ska samla ihop termer och få det att se it som det andra sambandet, där lossnar allt... Jag förstår inte något där... 😞😞

Natascha skrev:
Jag har lyckats skriva det första sambandet som Yngve publicerade i sin senaste kommentar så att det ser ut som andra sambandet. Jag har utvecklat kvadraterna med hjälp av kvadreringsregler. Nu när jag ska samla ihop termer och få det att se it som det andra sambandet, där lossnar allt... Jag förstår inte något där... 😞😞

Visa steg för steg vad du gör och hur långt du har kommit, så har vi en chans att hjälpa dig vidare.

Allt detta som jag bifogar nu skrev Yngve. Jag har däremot inte bara skrivit ner det utan steg för steg verkligen försökt förstå vad som tillhör vad... Jag hade lite svårt att se vad mitt (k) var i alla skrivna samband men nu har jag förstått. Jag vet däremot inte vad jag ska göra med mina nedersta tre kända värden? Ska jag nu ta dessa värden och ersätta x respektive y med dem? 🤦‍♀️

Vad är det du gör på raden under där det står "Omskrivning av första sambandet"? Vad är det du stryker bort?

Längst ner har du fått fram att -2x₀=4, d v s att x₀=-2, att -2y₀=-6, d v s att y₀=3 och att x₀²+y₀²-r²=k, d v s k=4+9-25=-12 eftersom du vet att r=5 enligt uppgiften.

Natascha skrev:
...
Jag vet däremot inte vad jag ska göra med mina nedersta tre kända värden? Ska jag nu ta dessa värden och ersätta x respektive y med dem? 🤦‍♀️

Har du fått den hjälp du behöver eller behöver du mer förklaring?

Hej igen. Som svar på Smaragdalenas senaste kommentar så strök jag för vissa termer för att AE vad som återstår. Nu kanske jag inte strök alla termer men jag gjorde det i syfte för att se vad som var kvar, och det skulle vara mitt k-värde. Det som jag dragit ett streck över är mer bara för min egen förståelse och att tydligheten når fram. 👱🏻‍♀️

Hej Yngve. Nä, jag känner att jag har fått full förståelse för uppgiften och hur den ska lösas. Jag hade till en början väldigt svårt att förstå din kommentar där du visar hur jag ska gå tillväga. Det satte sig efter en liten stunds funderande och visst har jag löst värdet för k med hjälp av din metod. K=-12. 😊