Find the standard equation of the circle thorugh...

Nästan, men x0 och y0 är cirkelns medelpunkt, som du ska ta reda på. Du har tre punkter på cirkeln, dvs. x och y tre gånger. Sätt in dem så får du tre ekvationer. 

Då får jag: $$\begin{gathered} {(x+2)}^{2 } + {(y-1)}^2 = r^2 \\ {(x-1)}^2 + {(y-4)}^2 =\hspace{0.17em}{r}^2 \\ {(x+3)}^2 + {(y-2)}^2 = r^2 \end{gathered}$$ Jag försökte sätta de tre ekvationerna lika med varandra men det blev ingen bra. Hur går jag vidare? 

Du har ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta. Du kan använda t ex substitutionsmetoden eller additionsmetoden för att lösa det.

Ja det är ett alternativ faktiskt. Men om jag nämner översta ekvationen som 1 och i mitten 2 och nedersta 3. Ifall jag tar ekvation1 och ekvation2 som lika varandra då båda är lika med r^2. Ska jag utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregler först eller det behövs ej? 

Jag kan inte föreställa mig hur man skulle kunna lösa uppgiften utan att utveckla kvadraterna.

Färresten, har du ritat upp de tre punkterna i ett koordinatsystem? Det borde kunna ge ett hum om rimliga värden för r, x₀ och y₀, så att du vet om de siffror du räknar fram verkar vettiga.

Nä, jag tänkte på det precis i början men jag tänkte att jag kunde lösa den rakt av algebraiskt men det var lite svårt. Jag har i alla fall tagit ekvation 1 och 2 och satt dem lika då båda är lika med r^2. Det ser ut såhär: $x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x +1 + y^2 - 8y + 16$ som jag då försöker förenkla i och med att det finns flera termer som tar ut varandra: $4x + 4 - 2y + 1 = -2x + 1 - 8y + 16$ som i sin tur leder vidare till ekvationen: $6x + 6y = 12 \to \frac{6x + 6y = 12}{2} \to x + y = 2$ Är jag på väg mot ljusare tider eller gräver jag bara ner mig djupare? Min magkänsla säger att det är korrekt. 

Det ser ut som om det skulle kunna vara riktigt - jag har inte räknat igenom uppgiften.

Som nästa steg skulle jag sätta att VL i ekv 3 = VL i en av de båda andra ekvationerna, och sätta in att y = 2-x. På det sättet får jag fram x, och sedan kan jag få fram y och därefter r.

En annan metod är att, om de tre punkterna kallas A, B och C, ta normalen till AB mitt emellan A och B och se var den skär motsvarande normal till BC. Där är cirkelns mittpunkt.

Prova grafiskt (som Smaragdalena föreslår), och sedan algebraiskt.

Något litet fel har du. Det ska bli $y_0=x_0+4$

Du har ersatt $x_0$och $y_0$med kända punkter, men det är dom du ska räkna ut.

Eftersom du gjort helt tvärtom kanske det ändå ska bli rätt, men då har du något litet räknefel någonstans på vägen.

Edit: Du får faktiskt rätt om du fortsätter därifrån, men som sagt tänk på att det är $x_0$och $y_0$du ska räkna ut.

Hej!

Cirkeln har medelpunkt $(a,b)$ och radie $r$ så att punkterna $P_1$ och $P_2$ ger ekvationen

    $(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2$

och punkterna $P_2$ och $P_3$ ger ekvationen

    $(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b$

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt $(a,b)=(1,-1)$ och tillsammans med punkten $P_2$ beräknar man radien till $(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.$

Albiki skrev:

Hej!

Cirkeln har medelpunkt $(a,b)$ och radie $r$ så att punkterna $P_1$ och $P_2$ ger ekvationen

    $(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2$

och punkterna $P_2$ och $P_3$ ger ekvationen

    $(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b$

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt $(a,b)=(1,-1)$ och tillsammans med punkten $P_2$ beräknar man radien till $(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.$

Om du sätter in $(a,b)=(1,-1)$, så stämmer inte $(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2$.

Albiki skrev:

Hej!

Cirkeln har medelpunkt $(a,b)$ och radie $r$ så att punkterna $P_1$ och $P_2$ ger ekvationen

    $(-2-a)^2+(1-b)^2 = (1-a)^2+(4-b)^2 \iff a-b=2$

och punkterna $P_2$ och $P_3$ ger ekvationen

    $(1-a)^2+(4-b)^2=(-3-a)^2+(2-b)^2 \iff 2=4a+2b$

vilka tillsammans ger cirkelns medelpunkt $(a,b)=(1,-1)$ och tillsammans med punkten $P_2$ beräknar man radien till $(1-1)^2+(4-(-1)^2 = r^2 \iff r=5.$

Bra tänk, men några fel. Inte underligt med dessa ekvationer i och för sig. De kräver en minutiös noggrannhet.

$P_1 och P_2$ger $a+b=2$

$P_2 och P_3$ger $1=2a+b$

Det ger $a=-1 och b=3$

Vilket ger $r^2=5$

Ett bra tips i den här uppgiften är att rita först.

Smaragdalena skrev:

Det ser ut som om det skulle kunna vara riktigt - jag har inte räknat igenom uppgiften.

Som nästa steg skulle jag sätta att VL i ekv 3 = VL i en av de båda andra ekvationerna, och sätta in att y = 2-x. På det sättet får jag fram x, och sedan kan jag få fram y och därefter r.

Alltså jag har försökt flera dar med den metod som vi påbörjat Smaragdalena. Jag ersätter y=2-x där jag har y i ekvationen men det ger mig inga korrekt slutvärden för x, y och slutligen r. Detta är en tragisk syn... 🤦‍♀️

Du har redan använt ekvation 1 och 2 för att få fram att y=2-x. Använd inte dem mer (just nu), de är förbrukade. Använd istället t ex att ekv 1 = ekv 3 och sätt in att y=2-x. Förenkla "y-parenteserna" innan du utvecklar dem. Detta ger dig ett värde på x.

Om du börjar med att pricka in de tre punkterna i ett koordinatsysten, så hittar du mittpunkten förvånansvärt enkelt och exakt.