Find a nontrivial solution of Ax=0

Eftersom matrisen inte har full rank, så kan du strunta i sista ekvationen (då den är en linjär kombination av de två första). Då har du ett underbestämt system med två ekvationer och tre okända. Då kan du sätta $x_3=t$ och lösa ut vad $x_1$och $x_2$blir uttryckt i $t$. Då får du ett uttryck för samtliga lösningar.

Gustor skrev:

Eftersom matrisen inte har full rank, så kan du strunta i sista ekvationen (då den är en linjär kombination av de två första). Då har du ett underbestämt system med två ekvationer och tre okända. Då kan du sätta $x_3=t$ och lösa ut vad $x_1$och $x_2$blir uttryckt i $t$. Då får du ett uttryck för samtliga lösningar.

Juste sista kolonen är ju en linjär kombination av de tre övriga vilket följer att A är linjärt oberoende. Vad menas med underbestämt system? Varför struntar vi i sista ekvationen? Jag minns inte vad full rank innebär och vi har inte kommit dit ännu i kursen.

Underbestämt innebär i det här fallet att vi inte har nog med begränsningar för att få en entydig lösning.

Vad jag vill minnas är att hur man hanterar sådana här uppgifter beror på hur långt man kommit kursen, så därför är det möjligt att Gustors råd är något som inte är gångbart än, även om hen har rätt. Jag tror också hen gör flera steg i ett som om man inte förstår stegen så blir det att man gör det utan att begripa, så här kommer en mer utförlig beskrivning:

Om uppgiften inte hade gett dig att kolumnerna är linjärt beroende så antar jag att du hade Gaussat. Detta kan man göra och kommer då komma fram till ett läge där sista raden kommer visa att 0 = 0. Detta är ett trivialt samband som man kan strunta i, varmed vi egentligen har två stycken ekvationer med tre okända. För att beskriva uppsättningen av lösningar får man då ansätta att x₃ kan sättas till t, och från dessa formulera x₂ och x₁ i termer av t.

Man kan även lösa uppgiften genom att kalla kolonnerna i A för u₁, u₂ och u₃. I sådant fall vore lösningen av

A*x = 0

samma sak som att lösa

u₁*x₁ + u₂*x₂ + u₃*x₃ = 0

Från uppgiftsbeskrivningen hade vi att tredje kolonnen var den första plus 3 av den andra, så vi får:

u₁*x₁ + u₂*x₂ + (u₁ + 3*u₂)*x₃ = 0

vilket ger

u₁*(x₁ + x₃) + u₂*(x₂ + 3*x₃) = 0

och vi löser uppgiften genom att sätta parenteserna skall bli noll.

Bedinsis skrev:

Underbestämt innebär i det här fallet att vi inte har nog med begränsningar för att få en entydig lösning.

Vad jag vill minnas är att hur man hanterar sådana här uppgifter beror på hur långt man kommit kursen, så därför är det möjligt att Gustors råd är något som inte är gångbart än, även om hen har rätt. Jag tror också hen gör flera steg i ett som om man inte förstår stegen så blir det att man gör det utan att begripa, så här kommer en mer utförlig beskrivning:

Om uppgiften inte hade gett dig att kolumnerna är linjärt beroende så antar jag att du hade Gaussat. Detta kan man göra och kommer då komma fram till ett läge där sista raden kommer visa att 0 = 0. Detta är ett trivialt samband som man kan strunta i, varmed vi egentligen har två stycken ekvationer med tre okända. För att beskriva uppsättningen av lösningar får man då ansätta att x₃ kan sättas till t, och från dessa formulera x₂ och x₁ i termer av t.

---

Man kan även lösa uppgiften genom att kalla kolonnerna i A för u₁, u₂ och u₃. I sådant fall vore lösningen av

A*x = 0

samma sak som att lösa

u₁*x₁ + u₂*x₂ + u₃*x₃ = 0

Från uppgiftsbeskrivningen hade vi att tredje kolonnen var den första plus 3 av den andra, så vi får:

u₁*x₁ + u₂*x₂ + (u₁ + 3*u₂)*x₃ = 0

vilket ger

u₁*(x₁ + x₃) + u₂*(x₂ + 3*x₃) = 0

och vi löser uppgiften genom att sätta parenteserna skall bli noll.

Jag ansätte istället x3=t och sen gjorde som gustav sa.  Då fick jag x3=t x2=-3t samt x1=-t.  Så det här metoden gör man när man vet att en vektor är linjärt beroende medan de övriga inte är det? Man kan väl göra gaus på de två övriga kolonvektorer som man misstänker är linjärt oberoende och se om man får en  trivial lösning

Bedinsis metod är mycket bättre än min, jag förklarade inte riktigt hur jag tänkte och använde en egentligen onödigt avancerad metod. Det viktiga är att inse att systemet blir underbestämt (alltså att det finns färre ekvationer än vad det finns okända) och det därför finns antingen inga, eller oändligt många, lösningar.

När man kommit fram till att

${\mathbf{u}}_1(x_1+x_3)+{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}(x_2+3x_3)=0$

så måste alltså var och en av de två parenteserna vara lika med $0$. Om man vill få fram alla lösningar kan man sätta t.ex. $x_3=t$ och lösa ut att $x_2=-3t$ och $x_1=-t$. Anledningen till att vi gör på detta sätt är för att vi har två (linjärt oberoende) ekvationer ($x_1+x_3=0$ och $x_2+3x_3=0$) och tre okända $x_1,x_2,x_3$. Det betyder att vi har $3-2=1$ grad av frihet, dvs. vi kan välja en av variablerna fritt (t.ex. $x_3=t$), och då bestäms de två andra variablerna av de två ekvationerna. Samtliga lösningar blir då $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}-t\\ -3t\\ t\end{array}\right), t\in \mathrm{ℝ}$.

Är vi bara intresserade av en lösning, så kan vi välja ett värde på vår parameter $t$, till exempel $t=1$. Vi hade också kunnat direkt sätta $x_3=1$ om vi endast var intresserade av att få fram en nollskild lösning.

Tillägg: 4 nov 2024 13:57

Om du är intresserad, så definieras kolonnrangen (eng. column rank) $\mathrm{rank}\left(A\right)$ av en matris $A$ som dimensionen av det vektorrum som spänns upp av kolonnvektorerna i $A$. Detta är samma sak som antalet linjärt oberoende kolonnvektorer i matrisen $A$.

En fundamental sats i linjär algebra säger att antalet linjärt oberoende kolonnvektorer är lika med antalet linjärt oberoende radvektorer (alltså radrangen). Satsen säger med andra ord att kolonnrangen och radrangen är lika, för vilken matris $A$ som helst (alltså inte bara kvadratiska matriser!). Detta betyder alltså att om t.ex. en $3\times 3$-matris har två oberoende kolonnvektorer samt en tredje som kan uttryckas som en linjär kombination av de första två, så måste en av matrisens radvektorer kunna uttryckas som en linjär kombination av de andra två.

Som en konsekvens av denna sats går det bra att referera entydigt till endast rangen av en matris $A$ som detta gemensamma värde.

Rangen för en $m\times n$-matris $A$ är alltså ett tal mellan $0$ och det mindre av talen $m$ och $n$ (varför?). Den enda matris som har rang $0$ är nollmatrisen.

Vi säger att matrisen $A$ har full rang om rank(A) antar sitt maximala värde, dvs. om $\mathrm{rank}\left(A\right)=\min (m,n)$. Om $A$ är en kvadratisk $n\times n$-matris, så har $A$ full rang precis när den har $n$ linjärt oberoende kolonnvektorer (eller ekvivalent $n$ linjärt oberoende radvektorer).