Fina alla reela lösningar (Matematik/Allmänna diskussioner)

gmiak skrev:
ln(x-3) + ln(x-2) = ln56
ln(x-3/x-2) = ln56
x-3/x-2 = e^(ln56)
x-3/x-2 = 56
56x - 112 = x-3
55x = 109
x = 109/55
Har jag tänkt rätt?

på rad 1 skriver du ln(x-3)+ln(x-2) = ...

sedan på rad 2 gör du om det till $\ln \frac{(x - 3)}{(x - 2)}$ Det hade varit korrekt om det var ett minus på första raden men det är ett plus och därmed blir det multiplikation: $\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln 56$

pepsi1968 skrev:
gmiak skrev:
ln(x-3) + ln(x-2) = ln56
ln(x-3/x-2) = ln56
x-3/x-2 = e^(ln56)
x-3/x-2 = 56
56x - 112 = x-3
55x = 109
x = 109/55
Har jag tänkt rätt?
på rad 1 skriver du ln(x-3)+ln(x-2) = ...
sedan på rad 2 gör du om det till $\ln \frac{(x - 3)}{(x - 2)}$ Det hade varit korrekt om det var ett minus på första raden men det är ett plus och därmed blir det multiplikation: $\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln 56$

Ja just det! Jag såg det för en stund sen :)
Utvecklar jag ln((x-3)(x-2))=ln56

Då får jag en andragradsekvation : x^2-5x-50 = 0 med lösningar x1 = 10 och x2 = -5

Frågan är om båda lösningar satisfiera ekvationen?

gmiak skrev:
pepsi1968 skrev:
gmiak skrev:
ln(x-3) + ln(x-2) = ln56
ln(x-3/x-2) = ln56
x-3/x-2 = e^(ln56)
x-3/x-2 = 56
56x - 112 = x-3
55x = 109
x = 109/55
Har jag tänkt rätt?
på rad 1 skriver du ln(x-3)+ln(x-2) = ...
sedan på rad 2 gör du om det till $\ln \frac{(x - 3)}{(x - 2)}$ Det hade varit korrekt om det var ett minus på första raden men det är ett plus och därmed blir det multiplikation: $\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln 56$
Ja just det! Jag såg det för en stund sen :)
Utvecklar jag ln((x-3)(x-2))=ln56
Då får jag en andragradsekvation : x^2-5x-50 = 0 med lösningar x1 = 10 och x2 = -5
Frågan är om båda lösningar satisfiera ekvationen?

Det är väl bara att stoppa in och kolla? Ta inte mitt ord för de här nu, men så skulle jag ha kollat. Alltså lägg in x1 och x2 i ursprungsekvationen och se om det stämmer. Den andra lär inte stämma iaf, då får man ln(-8) och det går inte har jag för mig

Hej! Först måste du fundera på vilka tal (x) som kan komma i fråga som lösningar till ekvationen. För vilka x är logaritmuttrycken definierade?

Kollade upp det svaret är X1 dvs

x = 10

Hej!

Steg 1. Logaritmuttrycken kräver att $x-3 > 0$ och att $x-2 > 0$ , så om $x>3$ är båda krav uppfyllda. Om ekvationen har en lösning så måste den vara ett tal som är större än $3$ .

Steg 2. Under förutsättning att $x>3$ kan ekvationen uttryckas med en logaritmlag:

$\ln (x-3)+\ln(x-2)-\ln 56=0 \iff \ln\frac{(x-3)(x-2)}{56}=0.$

Det finns bara ett tal som har logaritmen $0$ och det är talet $1$ .

$\ln\frac{(x-3)(x-2)}{56} = 0 \iff \frac{(x-3)(x-2)}{56} = 1\iff (x-3)(x-2)=56.$

Steg 3. Multiplikationstabellen säger att $7\cdot 8 = 56$ , och talet $x-3$ är $1$ enhet mindre än talet $x-2$ , så det skulle kunna gälla att $x-3=7$ och $x-2=8$ , det vill säga $x=10$ ; eftersom $10 > 3$ så är detta ett tillåtet värde. Finns det andra lösningar är $x=10$ till ekvationen $(x-3)(x-2)-56=0$ ?

Steg 4. Då $x=10$ är en lösning till denna ekvation kan den skrivas $(x-10)(x-a)=0$ där talet $a$ är ekvationens andra lösning (om den existerar). Utveckla de två uttrycken för att få dels $(x-3)(x-2)-56 = x^2-5x-50$ och dels $(x-10)(x-a) = x^2-(10+a)x+10a.$ För att dessa två uttryck ska vara identiska måste det gälla att $10+a=5$ samtidigt som $10a = -50$ ; du ser att det finns ett sådant tal, nämligen $a=-5$ . Ekvationens andra lösning är alltså $x = -5$ , men den uppfyller inte kravet $x > 3$ .

Resultat: Bland de reella talen är det endast talet $10$ som uppfyller ekvationen $\ln(x-3)+\ln(x-2)=\ln 56.$

Albiki skrev:
Hej!
Steg 1. Logaritmuttrycken kräver att $x-3 > 0$ och att $x-2 > 0$ , så om $x>3$ är båda krav uppfyllda. Om ekvationen har en lösning så måste den vara ett tal som är större än $3$ .
Steg 2. Under förutsättning att $x>3$ kan ekvationen uttryckas med en logaritmlag:
$\ln (x-3)+\ln(x-2)-\ln 56=0 \iff \ln\frac{(x-3)(x-2)}{56}=0.$
Det finns bara ett tal som har logaritmen $0$ och det är talet $1$ .
$\ln\frac{(x-3)(x-2)}{56} = 0 \iff \frac{(x-3)(x-2)}{56} = 1\iff (x-3)(x-2)=56.$
Steg 3. Multiplikationstabellen säger att $7\cdot 8 = 56$ , och talet $x-3$ är $1$ enhet mindre än talet $x-2$ , så det skulle kunna gälla att $x-3=7$ och $x-2=8$ , det vill säga $x=10$ ; eftersom $10 > 3$ så är detta ett tillåtet värde. Finns det andra lösningar är $x=10$ till ekvationen $(x-3)(x-2)-56=0$ ?
Steg 4. Då $x=10$ är en lösning till denna ekvation kan den skrivas $(x-10)(x-a)=0$ där talet $a$ är ekvationens andra lösning (om den existerar). Utveckla de två uttrycken för att få dels $(x-3)(x-2)-56 = x^2-5x-50$ och dels $(x-10)(x-a) = x^2-(10+a)x+10a.$ För att dessa två uttryck ska vara identiska måste det gälla att $10+a=5$ samtidigt som $10a = -50$ ; du ser att det finns ett sådant tal, nämligen $a=-5$ . Ekvationens andra lösning är alltså $x = -5$ , men den uppfyller inte kravet $x > 3$ .
Resultat: Bland de reella talen är det endast talet $10$ som uppfyller ekvationen $\ln(x-3)+\ln(x-2)=\ln 56.$

Super bra förklaring, tack 👍🏽