Fin (enkel/medelklurig) tredjegradare

Eventuella rationella rötter måste vara $\pm 1$ (enligt Rational root theorem) men dessa är ej lösningar. Finns det något bättre sätt då än att bara använda Cardano's formula?

Vi ser att VL nästan ser ut som en kub, men problemet är att koefficienterna har fel tecken. Så om vi för över alla negativa termer till HL och "kubkompletterar" får vi:

$\displaystyle 2x^3 = x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3 \iff x\sqrt[3]{2}=x+1$

Resten är inte så klurig! :D

Det här var länge sedan jag pysslade med, så trevlig och nyttig övning. Jag hittade en allmän formel som visade sig felaktig. Efter att ha stångat huvudet i väggen ett antal gånger letade jag upp en annan. Då gick det mycket lättare!

$$\begin{gathered} x^3+a{x}^2+bx+\mathrm{c}=0 \\ {x}^3-3x^2-3x-1=0\Rightarrow a=-3;b=-3;c=-1 \\ \mathrm{p}=\mathrm{b}-\frac{{\mathrm{a}}^2}{3}=-3-\frac{9}{3}=-6 \\ \mathrm{q}=\frac{9\mathrm{ab}-2{\mathrm{a}}^3}{27}-\mathrm{c}=\frac{81+54}{27}+1=\frac{135}{27}+1=6 \\ \mathrm{x}=\mathrm{z}-\frac{\mathrm{a}}{3} \\ \mathrm{z}={\left(\frac{\mathrm{q}}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{p}}{3}\right)}^3}\right)}^{1⁄3}+{\left(\frac{\mathrm{q}}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{p}}{3}\right)}^3}\right)}^{1⁄3}= \\ ={\left(3+\sqrt{9-8}\right)}^{1⁄3}+{\left(3-\sqrt{9-8}\right)}^{1⁄3} \\ =\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2} \\ \mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}}\mathbf{+}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1} \end{gathered}$$

Det var en reell rot. Puh!

Finns det tre? Diskriminanten är =-108, så nix.

Nu har jag lärt mig något, som jag eventuellt kunnat för 30+ år sedan. Tack!

Inser jag skulle ha svarat $\mathrm{x}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{1}$ av symmetriskäl. Så vackert!