figur och bestämma geometriskt

z² = 9i

9i har beloppet 9 och argumentet 90 + n*360 (grader)

Det betyder att z har beloppet roten ur 9 (= 3) och argumentet 45 + n*180 

så z = 3 (cos (v) + i sin (v)) där v = 45°+n*180°

Marilyn skrev:

z² = 9i

9i har beloppet 9 och argumentet 90 + n*360 (grader)

Fattar hit

Det betyder att z har beloppet roten ur 9 (= 3) och argumentet 45 + n*180 

så z = 3 (cos (v) + i sin (v)) där v = 45°+n*180°

tappar bort mig här. Hur får man att det är 3(cos45+ isin45) respektive 

3(cos225 + isin225)

(angivna i grader)

Grunden är att om du har två komplexa tal z och w

där z har belopp och argument A respektive x

och w har belopp och argument B respektive y

så har produkten zw belopp och argument AB respektive x+y

Därför har zz belopp A² och argument 2x

Nu var A² = 9 så A = 3

2x = 90 + 360n så x = (90+360n)/2

Hur blir beloppet a² = 9

Jag är med på det du skrev ovan att man får beloppet genom AB. Men fattar inte hur det ovan kommer till.

Sedan undrar jag hur man visste att det var just dessa två man skulle skriva(45 och 225) och varför man satte n=1 på den ena lösningen?

Om du ritar in en sträcka från origo till punkten (0, 9), dvs 9i i det komplexa talplanet så ser du att den sträckan (vektorn) har längden 9.

(Absolut)beloppet av z = a+bi är sqrt(a²+b²) enligt känd sats från de gamla grekerna.

Vinkeln (argumentet) mellan positiva reella axeln och vektorn 9i är 90°. Så argumentet för z är hälften av 90, dvs 45 grader. Men dubblar du 225 grader får du 450 grader, dvs 90° plus ett varv. Så halva argumentet för z² är både 45° och 225°.   

Hur ska man veta hur många punkter man är ute efter? ATt det var just 2 och inte fler?

Eftersom det var z-kvadrat.

Om du har z⁶ = 729 i så får du 

argumentet z⁶ är 90°+n*360

arg z = 15° + n*60°

och beloppet z är 729^1/6 = 3

Sedan är det ju inte som en trigonometrisk ekvation där varje nytt n ger en ny lösning.

z² = 9i har TVÅ lösningar.

Ritar man in 3(cos45 +i sin45) så är det exakt samma punkt som 3(cos405 + i sin405)

= (3/sqrt 2)(1+i)

3(cos225 + i sin225) är samma punkt som om du byter argumentet mot 585 (grader)

Min sjättegradsekvation har precis 6 olika lösningar som man får fram genom att sätta in n = 0, 1, 2, …, 5. Sätter du n= 6 får du tillbaka den första lösningen;

Marilyn skrev:

Eftersom det var z-kvadrat.

Om du har z⁶ = 729 i så får du 

argumentet z⁶ är 90°+n*360

arg z = 15° + n*60°

 

 

och beloppet z är 729^1/6 = 3

Är med på beloppet, men hur får du arg z?

Tar inte man 729/6? eller vad räknar man ut då?

Tillägg: 8 dec 2023 17:55

90/6= 15

varför utgår man från 90? Ser nu att det var det som vi gjorde på andra frågan också? 90/2?

Tillägg: 8 dec 2023 17:56

ELler ja, det är kopplat till det vi får givet i ursprungsfrågan?

z = a +ib

Punkten markeras som (a, b) i det komplexa talplanet. 

Det betyder att 9i ligger på ”y-axeln” (fast man säger den imaginära axeln).

Avståndet till 0 är 9.

Den imaginära axeln bildar 90 graders vinkel mot den reella axeln. Vi mäter vinkeln moturs.

När det gäller z⁶ = 729i så ligger 729 också på den axeln så argumentet är forfarande 90°.

Avståndet är 729 och sjätteroten ur 729 är 3. 

z ligger alltså på avståndet 3 från origo.

Rita en cirkel med radie 3 runt origo. Om z har argument 15 så har z² arg 30, z³ arg 45, …, och z⁶ arg 90 (grader). Bingo!

Äterkom när du funderat. Stay smart!

Tack för hjälpen!