Fibonaccis talföljd

Induktionsbevis, skulle jag föreslå. Vet du hur man gör ett sådant?

Vi har gjort det innan men i form av att man har en summa = en formel. Vet faktiskt inte hur jag ska lägga upp det.
Ska jag alltså anta att den slutna-formeln jag har kommit fram till ska vara = formeln för approximationen? 

$\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}$att detta då är lika med $\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1\sqrt{5}}{2}\right)}^n$och försöka bevisa det för n=p samt n=p+1?

Läs om induktionsbevis här

Tack för hjälpen Smaragdalena. Jag märkte ett slarvfel när jag försökte pussla ihop hur jag skulle använda induktion som du föreslog. Den slutna-formeln jag angivit är ju såklart för $f_{n+1}$så jag ska egentligen bevisa att:
$\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$är närmst. Jag valde att istället inspektera den negativa termen som blir $\left|-\frac{0.6}{\sqrt{5}}\right|<1$ som är oerhört litet och forsätter att bli mindre ju större exponent blir. dvs den negativa termen är alltid mindre än 1 och därför kan man försumma den. Jag hittade inget smart sätt att bevisa det med induktion eftersom VL inte är lika med HL.

Vilka är de 5 första fibonacci-talen?

Vilka är de första 5 talen som man får genom den slutna formeln? Om inte de värdena stämmer, så är det ingen mening med att försöka bevisa att formeln är korrekt om den inte är det.

Den slutna formeln jag kommit fram till ger mig följande för $n\ge 1$

{1,1,2,3,5,8,13,21..}

Och med approximation formeln: {0.723,1.17,1.89,3.06,4.95,8.02,12.98,21...}

Min gissning är att det är för att konjugatet är så pass litet att så länge man avrundar till närmsta heltal så stämmer det. efter $n\ge 8$ så är det avrundningsfel på tusendelar.

Visa hur du räknar för att få så konstiga värden när du stoppar in n = 0, 1, 2 i formeln. Jag fick värdet 1 när jag stoppade in n=0 och 2 är jag stoppar in n=1, precis som det borde bli. Formeln jag räknade med är den du har på nedre raden.

Jag tror jag har varit otydlig nu senaste svaren. så här. 

jag fick fram: $f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$

Stoppar jag in n=0 upp till 9 får jag följande tal: {0,1,1,2,3,5,8,13,21}

använder jag approximations-formeln dvs: $\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n$ ger denna : {0.44, 0.723 ,1.17 ,1.89 ,3.06 ,4.95 ,8.02 ,12.9 ,21}

Då förstår jag inte alls vad formeln med 2 termer i har med saken att göra. Varifrån kommer den formeln?

$f_n$ är den slutna formlen jag löst ut genom att lösa differensekvationen $y_n=y_{n-1}+y_{n-2}$

När du hittat den slutna formeln återstår att bevisa att skillnaden mellan den slutna formeln och approximationen är mindre än 1/2.

Smutsmunnen skrev:

När du hittat den slutna formeln återstår att bevisa att skillnaden mellan den slutna formeln och approximationen är mindre än 1/2.

Tackar, hade endast visat att den var mindre än 1 men självklart ska det vara mindre än 1/2.