Fermats lilla sats

Med reservation för att jag inte har sett facit:

Fermats lilla sats för x=2 säger:

$2^{p-1}\equiv 1 (mod p)$, där p är ett primtal som inte är en faktor i 2 d.v.s. p > 2, t.ex. p = 3, 5, 7, 11...

vilket betyder att resten av divisionen:

$\frac{2^{p-1}}{p}$ ,där p är ett primtal enl. ovan

är 1.

Omvändningen av detta borde vara detsamma som påståendet att:

Om resten av divisionen $\frac{2^{p-1}}{p}$ är 1 så är p ett primtal för p > 2.

Tanken är inte att du ska prova dig fram tills att du hittar ett motbevis (facits "341" får man väl anta är ett motbevis d.v.s. resten är 1 men 341 är inget primtal). Tanken är nog att du ska fundera över rimligheten i denna omvändning och att du ska få en insikt i att man inte kan "omvända" vad matematiska satser säger och tro att det också är en sanning.

Om omvändningen hade varit sann så hade det varit enkelt att hitta primtal. Det hade bara varit att testa om heltalsdivisionen ger resten 1. Så är det inte. All kryptografi på internet bygger på att det är svårt att hitta primtal. Hade det varit enkelt så hade vi inte haft internetbanker eller swish. Det kanske finns helt andra resonemang som ni har tagit upp i skolan.

Hej!

Satsen säger detta:

    (p är primtal) och (x är relativt prima med p) $\implies$ x^(p-1)=1 mod p.

Satsens omvändning är 

    x^(p-1)=1 mod p $\implies$ (p är primtal) och (x är relativt prima med p).

För att visa att omvändningen är fel ska du finna heltal x och p sådana att x^(p-1)=1 mod p och ((p är ej primtal) eller (x är ej relativt prima med p)).